Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума сначала вычислим производную заданной функции:
$y' = (x^3 + 10x^2 + 25x + 9)' = 3x^2 + 20x + 25$
Далее определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$3x^2 + 20x + 25 = 0$$
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 400 - 300 = 100$
Находим корни квадратного уравнения:
$x = \frac{-20 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-20 \pm 10}{6}$
Получаем два значения: $x_1 = -5$ и $x_2 = -\frac{10}{6} = -1\frac{2}{3}$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знаков производной, точка $x = -5$ является точкой максимума (производная меняется с «+» на «−»), а $x = -\frac{5}{3}$ — точкой минимума (смена с «−» на «+»).

Ответ: -5

Источник: ФИПИ