Ход решения:
Дана функция: $y = x^{\frac{3}{2}} - 21x + 11$.
Для нахождения критических точек вычислим производную заданной функции:
$y'(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' - (21x)' + (11)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 21 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 21$.
Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти точки экстремума:
$$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 21 = 0$$
Перенесем константу в правую часть уравнения:
$$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 21$$
Выразим корень, умножив обе части на $\frac{2}{3}$:
$$\sqrt{x} = 14$$
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим значение аргумента:
$$x = 196$$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции:

Исходя из схемы, при переходе через точку $x = 196$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, искомая точка минимума равна 196.

Ответ: 196

Источник: ФИПИ