Решение:

Для нахождения экстремумов и исследования поведения функции вычислим её производную:

$$y' = -12 \sin x + \frac{45}{\pi}$$

Приравняем полученное выражение к нулю для поиска критических точек:

$$-12 \sin x + \frac{45}{\pi} = 0 \implies \sin x = \frac{45}{12\pi} = \frac{15}{4\pi}$$

Заметим, что так как $\pi \approx 3,14$, то $4\pi \approx 12,56$. Следовательно, дробь $\frac{15}{4\pi} > 1$. Уравнение $\sin x = \frac{15}{4\pi}$ не имеет решений, а выражение для производной $y'$ всегда принимает только положительные значения.

Поскольку $y' > 0$ на всей области определения, данная функция является строго возрастающей. Это означает, что своего наименьшего значения на отрезке она достигает в левом конце указанного промежутка, то есть при $x = -\frac{2\pi}{3}$:

$$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 12 \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{45}{\pi} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 4 = 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 45 \cdot \frac{2}{3} - 4 = -6 - 30 - 4 = -40$$

Ответ: -40

Источник: ФИПИ