Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$y' = 2(x - 8)(x - 7) + (x - 8)^2 = (x - 8)(2(x - 7) + (x - 8)) = (x - 8)(2x - 14 + x - 8) = (x - 8)(3x - 22)$.
Приравняв производную к нулю, получаем корни: $x = \frac{22}{3}$ и $x = 8$.

Проанализируем поведение функции на заданном промежутке. Используя метод интервалов, заметим, что точка $x = 8$ является точкой минимума. Следовательно, на интервале $[7,5; 8]$ функция монотонно убывает, а на отрезке $[8; 18]$ начинает возрастать. Из этого следует, что своего наименьшего значения функция достигает именно при $x = 8$:
$y(8) = (8 - 8)^2(8 - 7) - 8 = 0 \cdot 1 - 8 = -8.$

Ответ: -8

Источник: ФИПИ