Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Ход решения:
Для начала вычислим производную заданной функции и определим её критические точки, решив уравнение: $$y' = 3x^2 + 12x + 9$$ Приравняем производную к нулю: $3x^2 + 12x + 9 = 0$. Разделив на 3, получим $x^2 + 4x + 3 = 0$, откуда находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Проанализируем поведение функции с помощью знаков производной на числовой прямой. Точка $x = -3$ является точкой максимума, а $x = -1$ — точкой минимума. Таким образом, на отрезке $[-3; -1]$ график функции идет вниз, а на промежутке $[-1; 0]$ — вверх. Следовательно, своего наибольшего значения на рассматриваемом интервале функция достигает в точке локального максимума $x = -3$:
$$y(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) + 21 = -27 + 54 - 27 + 21 = 21.$$

Ответ: 21

Источник: ФИПИ