Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:

Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$y' = 3x^2 - 18x + 24$$ $$3x^2 - 18x + 24 = 0$$ Разделив на 3, получим $x^2 - 6x + 8 = 0$, откуда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Проанализируем поведение функции с помощью знаков производной на числовой прямой:
На промежутке $(-\infty; 2)$ производная положительна, на $(2; 4)$ — отрицательна, а при $x > 4$ — снова положительна. Следовательно, $x = 2$ является точкой максимума, а $x = 4$ — точкой минимума. Рассматривая заданный отрезок $[-1; 3]$, заметим, что до значения $x = 2$ функция растёт, а после него начинает убывать. Таким образом, своего наибольшего значения функция достигает именно в точке $x = 2$:
$$y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 7 = 8 - 36 + 48 - 7 = 13.$$

Ответ: 13

Источник: ФИПИ