Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для начала вычислим производную заданной функции и найдем её критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$y' = 3x^2 + 4x + 1$$ $$3x^2 + 4x + 1 = 0$$ Корнями данного квадратного уравнения являются значения $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Проанализируем поведение функции, расставив знаки производной на числовой прямой. Точка $x = -1$ является точкой максимума, а $x = -\frac{1}{3}$ — точкой минимума. Следовательно, на промежутке $[-3; -1]$ функция монотонно возрастает, а на интервале $[-1; -0,5]$ она начинает убывать. Из этого следует, что своего наибольшего значения на отрезке $[-3; -0,5]$ функция достигает в точке максимума $x = -1$.

Вычислим значение функции в этой точке:
$y(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + (-1) - 7 = -1 + 2 - 1 - 7 = -7.$

Ответ: -7

Источник: ФИПИ