Решение:

Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки:
$$y' = \left( 12 \ln(x + 2) - 12x + 7 \right)' = \frac{12}{x + 2} - 12.$$ Приравняем полученное выражение к нулю: $$\frac{12}{x + 2} - 12 = 0 \implies \frac{12}{x + 2} = 12 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1.$$

Проанализируем поведение функции с помощью знаков производной. Точка $x = -1$ является точкой максимума, так как при переходе через неё производная меняет знак с плюса на минус. Поскольку данная точка принадлежит рассматриваемому отрезку $[-1,5; 0]$, именно в ней функция достигает своего наибольшего значения: $$y(-1) = 12 \ln(-1 + 2) - 12 \cdot (-1) + 7 = 12 \ln 1 + 12 + 7 = 12 \cdot 0 + 19 = 19.$$

Ответ: 19

Источник: ФИПИ