Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную: $$y' = \left(11 \ln(x + 4) - 11x - 5\right)' = \frac{11}{x + 4} - 11.$$ Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки: $$\frac{11}{x + 4} - 11 = 0 \implies \frac{11}{x + 4} = 11 \implies x + 4 = 1 \implies x = -3.$$
Проанализировав знаки производной на числовой прямой, убеждаемся, что в точке $x = -3$ происходит смена знака с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Так как эта точка принадлежит рассматриваемому промежутку, наибольшее значение функции достигается именно в ней:
$$y(-3) = 11 \ln(-3 + 4) - 11 \cdot (-3) - 5 = 11 \ln 1 + 33 - 5 = 0 + 33 - 5 = 28.$$

Ответ: 28

Источник: ФИПИ