Ход решения:
Для начала вычислим производную заданной функции и определим её критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$$y' = 3x^2 - 12x + 9$$ $$3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$$ Корнями данного уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Проанализируем поведение функции, используя метод интервалов для производной. Точка $x = 1$ является точкой максимума, а $x = 3$ — точкой минимума. Следовательно, на промежутке $[0; 1]$ функция монотонно растёт, а на отрезке $[1; 3]$ она начинает убывать. Из этого следует, что своего наибольшего значения на рассматриваемом интервале функция достигает при $x = 1$:
$$y(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 5 = 1 - 6 + 9 + 5 = 9.$$

Ответ: 9

Источник: ФИПИ