Задание 14 ОГЭ по математике: арифметическая и геометрическая прогрессии

Задание 14 ОГЭ по математике — это числовые последовательности и прогрессии. На экзамене оно почти всегда выглядит как прикладная текстовая задача: торможение поезда, где путь за секунду убывает на одну и ту же величину; места в амфитеатре, где в каждом ряду на несколько мест больше; распад изотопа, где масса делится пополам; отскоки мяча, где высота падает в разы. За верный ответ дают 1 первичный балл, уровень — базовый, а ответ — это число (целое или конечная десятичная дробь). Весь секрет — распознать, какая перед вами прогрессия (арифметическая или геометрическая), и понять, что именно спрашивают: отдельный член или сумму. В статье — рабочие формулы, приём «на» против «в … раз», пошаговый алгоритм, три разбора реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 14 ОГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 14

Задание проверяет умение работать с числовыми последовательностями — прежде всего с арифметической и геометрической прогрессиями: находить нужный член прогрессии, сумму первых её членов, а также распознавать тип прогрессии по описанию реальной ситуации. По кодификатору ФИПИ сюда входят формула $n$ -го члена и формула суммы первых $n$ членов как арифметической, так и геометрической прогрессии. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

по сюжету определять тип прогрессии — арифметическая («на столько-то больше») или геометрическая («в столько-то раз больше»);
выписывать из условия первый член и разность $d$ (или знаменатель $q$ ), а также номер $n$ ;
применять формулу $n$ -го члена и формулу суммы первых $n$ членов;
различать вопрос «сколько в $n$ -м (ряду, за секунду)» и «сколько всего» — член это или сумма;
аккуратно считать с отрицательной разностью и с дробным знаменателем при убывании.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года. Важно не путать: «практико-ориентированный блок» ОГЭ — это отдельные задания 1–5. Задание 14 стоит в другой рубрике кодификатора, хотя по формулировкам это тоже прикладные текстовые задачи — только на прогрессии.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Число — целое или конечная десятичная дробь
Раздел	Числовые последовательности (арифметическая и геометрическая прогрессии), часть 1
Рекомендуемое время	≈ 2–3 минуты (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	6 (числа и вычисления), 10 (вероятности и работа с данными), 12 (расчёты по формулам)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 14 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 14

Как выглядит формулировка

Абстрактных «дана прогрессия $a_1 = 3$ , $d = 5$ » в задании 14 почти не встретишь — сюжет всегда бытовой или физический. Ваша задача — «перевести» историю на язык прогрессии. Примеры реальных формулировок:

«Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?»
«В ходе биологического эксперимента в чашку Петри поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии через 90 минут после начала эксперимента.»
«Каучуковый мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?»

Обратите внимание на две подсказки в тексте. Оборот «на … больше/меньше» — это арифметическая прогрессия (поезд), оборот «в … раз больше/меньше» — геометрическая (микроорганизмы, мячик). А вопрос «сколько всего за первые 7 секунд» требует суммы, тогда как «найдите массу через 90 минут» — это конкретный член прогрессии.

Теория: две прогрессии и как их различать

Всё задание 14 держится на четырёх формулах и одном приёме распознавания. Разберём их по карточкам.

Арифметическая прогрессия

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$ — разности прогрессии. Если величина растёт, $d > 0$ ; если убывает, $d < 0$ .

Формула $n$ -го члена:

a_n = a_1 + d \cdot (n - 1)

Сумма первых $n$ членов (две равносильные формы):

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n

Вторая форма получается из первой подстановкой $a_n = a_1 + d(n-1)$ — она удобнее, когда известны $a_1$ , $d$ и $n$ , но неизвестен последний член.

Геометрическая прогрессия

Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$ — знаменатель прогрессии ( $q \ne 0$ , $b_1 \ne 0$ ). Если величина растёт, $q > 1$ ; если убывает (делится в разы) — $0 < q < 1$ , например $q = \tfrac{1}{2}$ при уменьшении вдвое.

Формула $n$ -го члена:

b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}

Сумма первых $n$ членов (при $q \ne 1$ ):

S_n = \frac{b_1 (q^{\,n} - 1)}{q - 1}

В большинстве задач 14 нужен именно член $b_n$ (масса, высота, численность через сколько-то шагов), а сумма встречается реже, чем в арифметической.

Как распознать тип по сюжету

Тип прогрессии почти всегда «выдаёт» один предлог в условии:

«на столько-то больше/меньше», «на одну и ту же величину», «увеличивается/уменьшается на …» → это арифметическая прогрессия: члены складываем/вычитаем, ключевой параметр — разность $d$ . Предлог-маркер — «на».
«в столько-то раз больше/меньше», «вдвое», «втрое», «делится пополам» → это геометрическая прогрессия: члены умножаем/делим, ключевой параметр — знаменатель $q$ . Предлог-маркер — «в … раз».

Дальше отделите вопрос: «сколько в $n$ -м (ряду / за $n$ -ю секунду)» — это отдельный член ( $a_n$ или $b_n$ ); «сколько всего / за первые $n$ » — это сумма $S_n$ .

Запасной план: пошаговый пересчёт

Если номер $n$ небольшой (а в задании 14 он почти всегда маленький — 5, 7, 8 членов), формулу можно вовсе не вспоминать. Выпишите члены по одному:

для арифметической — каждый раз прибавляйте $d$ (не забудьте знак!): $a_1 \to a_1 + d \to a_1 + 2d \to \dots$ ;
для геометрической — каждый раз умножайте на $q$ : $b_1 \to b_1 q \to b_1 q^2 \to \dots$ ;
если нужна сумма — просто сложите выписанные члены напрямую.

Это дольше, но надёжно страхует от ошибки в формуле и в показателе степени. Отличный «дублёр», когда не уверены в $n-1$ .

Алгоритм решения задания 14

Определите тип прогрессии. Найдите в условии маркер: «на …» — арифметическая, «в … раз» — геометрическая.
Выпишите данные. Первый член ( $a_1$ или $b_1$ ), разность $d$ (со знаком!) или знаменатель $q$ (при убывании — дробь) и номер $n$ . Проверьте единицы измерения — при необходимости переведите (метры в сантиметры и т. п.).
Поймите, что спрашивают. Отдельный член («в $n$ -м», «через …») → формула $n$ -го члена. «Сколько всего / за первые $n$ » → формула суммы.
Аккуратно посчитайте $n$ . Если время делится на период (42 мин при шаге 7 мин → 6 шагов), следите, какой это по счёту член: первому шагу отвечает $b_2$ , а не $b_1$ .
Подставьте и вычислите по формуле — либо пересчитайте члены вручную как проверку. Ответ запишите числом, десятичную дробь — через запятую в отдельной клетке бланка.

Отработайте распознавание типа прогрессии

Прорешайте 10–15 заданий 14 подряд — глаз мгновенно ловит «на» против «в … раз» и вопрос «член или сумма». На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Торможение автомобиля (арифметическая прогрессия, сумма)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?

Решение:

Путь за секунду каждый раз меняется на одну и ту же величину («на 4 м меньше») — значит, это арифметическая прогрессия. Выпишем данные:

первый член $a_1 = 30$ (путь за 1-ю секунду);
разность $d = -4$ (путь убывает, поэтому со знаком минус);
нужен путь за первые 5 секунд — это сумма $S_5$ .

Применяем формулу суммы:

S_5 = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n = \frac{2\cdot 30 + (-4)(5-1)}{2}\cdot 5

S_5 = \frac{60 - 16}{2}\cdot 5 = \frac{44}{2}\cdot 5 = 22\cdot 5 = 110

Ответ: 110. Проверка пересчётом: пути по секундам — 30, 26, 22, 18, 14; их сумма $30+26+22+18+14 = 110$ м. Сходится, и все члены положительны — машина ещё не остановилась.

Пример 2. Места в амфитеатре (арифметическая прогрессия, отдельный член)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение:

Снова «на 3 места больше» — арифметическая прогрессия. Но теперь спрашивают не «сколько всего мест», а «сколько в восьмом ряду» — то есть нужен отдельный член $a_8$ , а не сумма. В этом всё отличие от примера 1. Данные:

$a_1 = 25$ (мест в 1-м ряду);
$d = 3$ (в каждом следующем на 3 больше);
номер ряда $n = 8$ .

Применяем формулу $n$ -го члена:

a_8 = a_1 + d(n-1) = 25 + 3\cdot(8-1) = 25 + 3\cdot 7 = 25 + 21 = 46

Ответ: 46. Проверка пересчётом: 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46 — восьмое число как раз 46. Обратите внимание на $(n-1)$ : до восьмого ряда прибавление происходит 7 раз, а не 8.

Пример 3. Распад изотопа (геометрическая прогрессия)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Масса уменьшается вдвое — «в 2 раза», это геометрическая прогрессия с убыванием, поэтому знаменатель $q = \tfrac{1}{2}$ . Сначала посчитаем, сколько раз произошло деление за 42 минуты (шаг — 7 минут):

42 : 7 = 6 \text{ раз}

Начальная масса $b_1 = 640$ мг отвечает моменту 0; после 6 делений это уже 6-й шаг. Умножаем начальную массу на $q$ шесть раз:

640 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6} = 640 \cdot \frac{1}{64} = \frac{640}{64} = 10

Ответ: 10. Проверка пересчётом: 640 → 320 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 — ровно шесть делений пополам, масса убывает и остаётся положительной. Здесь ключевое — правильно сосчитать именно число делений, а не подставить 42 в формулу.

Типичные ошибки и ловушки

Путаница «на» и «в … раз»

Самая частая ошибка — применить арифметическую формулу к геометрическому сюжету или наоборот. «На 3 больше» — прибавляем ( $d$ ), «в 3 раза больше» — умножаем ( $q$ ). Прочитайте предлог внимательно.

Член вместо суммы (и наоборот)

Вопрос «сколько в $n$ -м ряду / за $n$ -ю секунду» требует отдельного члена $a_n$ , а «сколько всего / за первые $n$ » — суммы $S_n$ . В примерах 1 и 2 сюжет почти одинаковый, но формулы разные именно из-за вопроса.

Ошибка $n-1$ против $n$

В формуле $n$ -го члена стоит именно $(n-1)$ : $a_n = a_1 + d(n-1)$ , $b_n = b_1 q^{\,n-1}$ . До восьмого ряда прибавление идёт 7 раз, а не 8. Если сомневаетесь — пересчитайте члены вручную.

Потерянный знак при убывании

Если величина уменьшается, разность отрицательна ( $d = -4$ ), а знаменатель — дробь меньше 1 ( $q = \tfrac{1}{2}$ ). Забыть минус или взять $q = 2$ вместо $\tfrac{1}{2}$ — типичный промах.

Неверный номер шага и единицы измерения

Когда время делят на период (42 : 7 = 6), следите, какому члену отвечает первый шаг. И приводите величины к одним единицам: если порог задан в сантиметрах, а высота — в метрах, переведите $3{,}6$ м $= 360$ см до вычислений.

Связь с другими заданиями

Задание 14 опирается на аккуратный счёт и работу с формулой, поэтому хорошо готовится вместе с несколькими соседними заданиями части 1:

Задание 6 — числа и вычисления (дроби, степени, сравнение). Это тот самый вычислительный фундамент: возведение $\tfrac{1}{2}$ в степень, действия с десятичными дробями из прогрессий берутся именно оттуда.
Задание 12 — расчёты по формулам: подстановка значений в готовую формулу. Формула $n$ -го члена — по сути такая же «готовая формула», в которую нужно аккуратно подставить данные.
Задание 10 — вероятности и работа с данными: родственный навык извлекать числа из текстовой ситуации и не теряться в сюжете.

Разбор задания 6 Разбор задания 10 Разбор задания 12 Все задания ОГЭ по математике

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — формулы и распознавание типа

Выучите наизусть четыре формулы ( $a_n$ , $S_n$ для арифметической; $b_n$ , $S_n$ для геометрической). Затем берите по 5–7 задач в день и первым делом называйте вслух тип прогрессии и что ищете — член или сумму. Каждую задачу решайте двумя способами: по формуле и пересчётом членов, сверяя ответы.

Неделя 2 — на скорость и без ошибок

Решайте задания 14 вперемешку (арифметические и геометрические подряд), отводя на каждое 2–3 минуты. Отдельно тренируйте слабые места: знак $d$ при убывании, дробный $q$ , подсчёт числа шагов и $n-1$ . Параллельно прорешивайте задания 6 и 12 — вычислительная база сделает счёт в прогрессиях автоматическим.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 14 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Все задания части 1 ОГЭ по математике (№1–19) оцениваются по 1 баллу.

Смотрите на предлог в условии. «На столько-то больше/меньше», «на одну и ту же величину» — арифметическая прогрессия (члены складываем, параметр — разность d). «В столько-то раз больше/меньше», «вдвое», «делится пополам» — геометрическая (члены умножаем, параметр — знаменатель q).

Четыре. Арифметическая: n-й член aₙ = a₁ + d·(n−1), сумма Sₙ = (2a₁ + d(n−1))/2 · n (или (a₁ + aₙ)/2 · n). Геометрическая: n-й член bₙ = b₁·q^(n−1), сумма Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1. В большинстве задач нужен именно член; сумма чаще встречается в арифметических сюжетах.

Вопрос «сколько в n-м ряду / за n-ю секунду / через столько-то времени» требует отдельного члена (aₙ или bₙ). Вопрос «сколько всего / за первые n» требует суммы Sₙ. Сюжет может быть почти одинаковым (места в амфитеатре против пути автомобиля), а формула разная — всё решает именно вопрос.

Если величина уменьшается, у арифметической прогрессии разность отрицательна (например, d = −4), а у геометрической знаменатель — дробь меньше 1 (например, q = 1/2 при уменьшении вдвое). Терять минус или брать q = 2 вместо 1/2 — частая ошибка.

Да, если число членов небольшое (а оно почти всегда небольшое). Выпишите члены по одному: прибавляйте d для арифметической или умножайте на q для геометрической, а для суммы сложите их напрямую. Это дольше, зато страхует от ошибки в формуле и в показателе степени — удобно использовать как проверку.

Ответ — это число: целое или конечная десятичная дробь. В бланк №1 каждая цифра, запятая и знак минус пишутся в отдельной клетке, без пробелов и без единиц измерения. Например, ответ 6,3 записывают тремя клетками: 6, запятая, 3.

Да. На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике загружены задания 14 из открытого банка ФИПИ — вы решаете их онлайн и сразу видите, верный ли ответ, а к каждому есть разбор. Так быстро набивается навык распознавать тип прогрессии и не путать член с суммой.

Готовы уверенно решать прогрессии?

Задание 14 — это стабильный первичный балл, если довести до автоматизма два навыка: распознавать тип прогрессии по сюжету и отличать член от суммы. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и прогрессии перестанут быть проблемой.

Тренировать задание 14 Разбор задания 12 Все задания ОГЭ по математике