Задание 16 ОГЭ по математике: окружность, круг и их элементы

Задание 16 ОГЭ по математике — это планиметрическая задача про окружность и круг из блока геометрии части 1 (задания 15–19). Здесь проверяют, как вы работаете с элементами окружности: центральными и вписанными углами, дугами, хордами, касательной, а также с вписанными и описанными многоугольниками. Ответ — краткое число (чаще всего градусы или длина радиуса), за верный ответ дают 1 первичный балл, уровень — базовый. Задание 16 особенно важно потому, что оно входит в геометрический блок: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25), и №16 — один из самых доступных способов эти баллы взять. В статье — вся нужная теория окружности, пошаговый алгоритм, три разбора реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 16 ОГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 16

По кодификатору и спецификации ФИПИ тема задания 16 — «Окружность, круг и их элементы». Проверяется умение выполнять действия с геометрическими фигурами, а именно работать с окружностью и кругом. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

применять свойства центральных и вписанных углов, дуг и хорд;
использовать свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр (он равен $90^\circ$ );
работать с касательной к окружности и её свойствами;
применять свойства вписанных и описанных четырёхугольников (суммы углов и сторон);
находить радиусы вписанной и описанной окружностей для квадрата, равностороннего и прямоугольного треугольников.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Краткий числовой ответ (целое число или конечная дробь), без единиц измерения
Раздел	Геометрия, планиметрия (блок 15–19)
Рекомендуемое время	≈ 2 минуты (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	15, 17, 19 (блок геометрии части 1)

Почему № 16 стоит выучить обязательно. Для положительной оценки на ОГЭ нужно набрать минимум 2 балла за геометрию (в части 1 это задания 15–19). Окружность — благодарная тема: половина заданий 16 решается в одну-две строчки по готовой формуле. Взяв № 16 и ещё одно геометрическое задание, вы закрываете обязательное условие.

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 16 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 16

Как выглядит формулировка

Формулировки задания 16 короткие: дан рисунок с окружностью и несколько данных, нужно найти угол, длину или радиус. Вот несколько реальных формулировок из банка ФИПИ:

«Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ , лежит на стороне $AB$ . Найдите угол $ABC$ , если угол $BAC$ равен $30^\circ$ . Ответ дайте в градусах».
«Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника».
«Сторона квадрата равна $26$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат».
«Угол $A$ трапеции $ABCD$ , вписанной в окружность, равен $59^\circ$ . Найдите угол $B$ этой трапеции».

Как видно, за формулировками стоит небольшой набор свойств окружности. Разберём их по порядку — этого хватит для подавляющего большинства заданий 16.

Теория: всё, что нужно для задания 16

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — вершина в центре окружности, стороны — радиусы. Он равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Вписанный угол — вершина на окружности, стороны — хорды. Он равен половине центрального угла (и половине дуги), опирающегося на ту же дугу:

\angle_{\text{впис}} = \tfrac{1}{2}\,\angle_{\text{центр}} = \tfrac{1}{2}\,\smile

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (одну хорду с одной стороны), равны между собой — это ключ ко многим задачам с четырёхугольниками.
Два вписанных угла, опирающихся на одну хорду с разных сторон, в сумме дают $180^\circ$ .

Угол на диаметр и центр описанной окружности

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ (прямой). Это частный случай: диаметр стягивает полуокружность ( $180^\circ$ ), а вписанный угол вдвое меньше.
Верно и обратное: если центр описанной около треугольника окружности лежит на его стороне, то эта сторона — диаметр, а треугольник прямоугольный (прямой угол — напротив диаметра).
Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы: $R = \tfrac{c}{2}$ ( $c$ — гипотенуза).
Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис; центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров.

Вписанные и описанные многоугольники

Четырёхугольники. У четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

У четырёхугольника, описанного около окружности (окружность вписана в него), равны суммы противоположных сторон:

AB + CD = BC + AD

Квадрат со стороной $a$ :

радиус вписанной окружности $r = \dfrac{a}{2}$ (половина стороны);
радиус описанной окружности $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (половина диагонали $d = a\sqrt{2}$ ).

Равносторонний треугольник со стороной $a$ :

радиус описанной окружности $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ ;
радиус вписанной окружности $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ , причём $R = 2r$ .

Касательная, хорда и базовые формулы

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания (угол между ними — $90^\circ$ ).
Отрезки двух касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.
Диаметр (радиус), проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.
Длина окружности $L = 2\pi R$ ; площадь круга $S = \pi R^2$ .

Алгоритм решения задания 16

Прочитайте условие и рассмотрите рисунок. Найдите на нём центр, радиусы, диаметр, хорды, вписанные и центральные углы. Отметьте, что дано, а что нужно найти.
Определите тип задачи. Углы в окружности? Вписанный/описанный многоугольник? Радиус для квадрата или треугольника? От типа зависит нужное свойство.
Выпишите подходящее свойство или формулу. Вписанный угол — половина центрального; угол на диаметр — $90^\circ$ ; для квадрата $r = a/2$ , $R = a\sqrt{2}/2$ и т. д.
Подставьте числа и посчитайте. Аккуратно работайте с корнями и градусами. Часто помогает сумма углов треугольника $180^\circ$ .
Проверьте здравым смыслом. Угол не может быть больше $180^\circ$ , радиус — положительный, а вписанная окружность меньше описанной. Запишите только число, без единиц.

Возьмите обязательные баллы за геометрию

Прорешайте 10–15 заданий 16 подряд — свойства окружности запомнятся сами. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Центр описанной окружности на стороне (угол на диаметр)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ , лежит на стороне $AB$ . Найдите угол $ABC$ , если угол $BAC$ равен $30^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC, вписанный в окружность: сторона AB проходит через центр окружности и является диаметром, вершина C лежит на окружности — Рисунок из реального задания банка ФИПИ

Решение:

Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$ — значит, $AB$ проходит через центр и является диаметром.
Угол $ACB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB$ , поэтому $\angle ACB = 90^\circ$ . Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$ .
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$ :

\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.

Ответ: 60. Проверка здравым смыслом: углы треугольника $30^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ — всё сходится.

Пример 2. Вписанный четырёхугольник (углы на одну дугу)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$ , угол $CAD$ равен $60^\circ$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, с проведёнными диагоналями AC и BD — Рисунок из реального задания банка ФИПИ

Решение:

Углы $CAD$ и $CBD$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $CD$ , поэтому они равны:
$\angle CBD = \angle CAD = 60^\circ.$
Луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$ , разбивая его на два: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$ .

\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 92^\circ - 60^\circ = 32^\circ.

Ответ: 32. Проверка здравым смыслом: угол $ABD$ — часть угла $ABC$ , и он меньше $92^\circ$ , как и должно быть.

Пример 3. Радиус окружности, вписанной в квадрат

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Сторона квадрата равна $26$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Квадрат с вписанной в него окружностью, которая касается всех четырёх сторон — Рисунок из реального задания банка ФИПИ

Решение:

Вписанная окружность касается всех четырёх сторон квадрата. Расстояние между противоположными сторонами равно диаметру окружности, то есть $d = a$ .
Значит, радиус вписанной окружности — это половина стороны квадрата:

r = \frac{a}{2} = \frac{26}{2} = 13.

Ответ: 13. Проверка здравым смыслом: вписанная окружность целиком помещается внутри квадрата, её диаметр $26$ равен стороне — окружность как раз касается сторон.

Типичные ошибки и ловушки

Путают вписанный и центральный угол

Самая частая ошибка — забыть про множитель. Вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Не умножайте и не делите «наугад»: сверьтесь, где вершина угла — в центре или на окружности.

Путают градусную меру дуги и угла

Дуга, на которую опирается вписанный угол, равна удвоенному углу. Не подставляйте меру дуги туда, где нужен угол, и наоборот.

Путают $R$ (описанная) и $r$ (вписанная)

Для квадрата $r = a/2$ , а $R = a\sqrt{2}/2$ — это разные величины. Внимательно читайте: окружность вписана в фигуру или описана около неё.

«Вписанная» против «описанной»

«Вписать в квадрат» и «описать около квадрата» — противоположные ситуации. Одно слово меняет ответ. Подчеркните его в условии прежде, чем брать формулу.

Единицы и лишние символы в ответе

В бланк № 1 записывают только число — без «°», «см» и пробелов. Ответ «60°» вместо «60» бланк не примет.

Связь с другими заданиями

Задание 16 — часть геометрического блока 15–19 части 1. Свойства окружности здесь тесно переплетаются с треугольниками, четырёхугольниками и площадями из соседних заданий, а также встречаются в развёрнутых заданиях 23–25 части 2 (их разбираем без ссылок — отдельных статей пока нет). Отрабатывайте блок целиком:

Задание 15 — треугольники и многоугольники Задание 17 — площади фигур Задание 19 — верные утверждения Все задания ОГЭ по математике

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — учим свойства окружности

Выучите наизусть три блока: углы (центральный, вписанный, угол на диаметр), вписанные и описанные четырёхугольники (суммы $180^\circ$ и равные суммы сторон), радиусы для квадрата и равностороннего треугольника. Каждый день решайте по 5–7 заданий 16 на один тип, проговаривая вслух, какое свойство работает.

Неделя 2 — на скорость и вперемешку

Решайте задания 16 вперемешку, не больше 2 минут на каждое, и сразу проверяйте ответ. Отдельно тренируйте распознавание «вписанная против описанной» и « $R$ против $r$ ». Параллельно прорешивайте задания 15 и 17, чтобы уверенно закрывать весь геометрический блок и гарантированно брать обязательные 2 балла за геометрию.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 16 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Задание 16 — планиметрическая задача по теме «Окружность, круг и их элементы». Проверяют умение работать с центральными и вписанными углами, дугами, хордами, касательной, а также с вписанными и описанными многоугольниками и радиусами вписанной и описанной окружностей.

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Все задания части 1 ОГЭ по математике (№1–19) оцениваются по 1 баллу.

Чтобы получить отметку выше «2», на ОГЭ нужно набрать не менее 2 баллов за геометрические задания. В части 1 это задания 15–19, в части 2 — 23–25. Задание 16 про окружность — одно из самых доступных геометрических, поэтому его стоит освоить обязательно.

Он равен 90 градусам (прямой). Это следствие свойства вписанного угла: он вдвое меньше центрального, а диаметр стягивает дугу в 180°. Отсюда же следует, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то треугольник прямоугольный.

Для квадрата со стороной a радиус вписанной окружности r = a/2 (половина стороны), а радиус описанной окружности R = a·√2/2 (половина диагонали). Главное — не перепутать «вписанную» и «описанную»: описанная больше вписанной.

У четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180°. У описанного около окружности четырёхугольника равны суммы противоположных сторон: AB + CD = BC + AD.

В бланк ответов № 1 записывают только число — целое или конечную десятичную дробь, без единиц измерения (без «°», «см»), без пробелов и лишних символов. Например, ответ «60 градусов» записывают как 60.

Да. На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике загружены задания 16 из открытого банка ФИПИ — вы решаете их онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и разбираете решение.

Готовы взять баллы за геометрию?

Задание 16 — короткий путь к обязательным баллам за геометрию на ОГЭ. Выучите свойства окружности, отработайте их на реальных заданиях из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором — и доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 16 Задание 15 Все задания ОГЭ по математике