Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники

Задание 15 ОГЭ по математике — это первое задание геометрического модуля части 1 и вычислительная задача на треугольник: по данным на чертеже нужно найти угол, сторону, высоту, медиану, биссектрису или площадь. За верный ответ дают 1 первичный балл, уровень — базовый, ответ — число, которое записывают в бланк № 1. Именно с задания 15 начинается блок геометрии (15–19, 23–25), а по действующей шкале ОГЭ для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию — поэтому задание 15 как самое доступное из геометрических часто становится ключевым. Разбираем теорию (сумма углов, равнобедренный треугольник, теорема Пифагора, синус-косинус-тангенс, площадь), алгоритм решения, три реальных задания из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 15 ОГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 15

Тема задания 15 — «Треугольники и их элементы». Оно проверяет умение применять признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему Пифагора и тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике для вычисления длин, углов и площадей. По сути это короткая вычислительная задача: на чертеже даны несколько величин, а найти нужно одну. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

определять тип треугольника (прямоугольный, равнобедренный, равносторонний) по чертежу и обозначениям;
использовать теорему о сумме углов треугольника ( $180^\circ$ ) и свойства острых углов прямоугольного треугольника;
применять теорему Пифагора для сторон;
находить синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника;
вычислять площадь треугольника разными способами и работать с медианой, биссектрисой и высотой.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Число (целое или конечная десятичная дробь), без единиц измерения
Раздел	Геометрия, часть 1 (первое задание геометрического модуля)
Рекомендуемое время	≈ 2 минуты (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	16–19 (геометрия части 1), 23–25 (геометрия части 2)

Почему задание 15 особенно важно: геометрический порог

По действующей шкале ОГЭ по математике получить отметку выше «2» можно, только если набрать минимум 2 балла за геометрические задания. Геометрия — это задания 15–19 в части 1 (по 1 баллу) и 23–25 в части 2 (по 2 балла). Даже с большим числом баллов за алгебру без этих 2 «геометрических» баллов ставится «2». Задание 15 — самое доступное из всех геометрических (базовый уровень, стандартные формулы), поэтому его стоит освоить в первую очередь: часто именно оно закрывает половину порога.

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 15 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 15

Как выглядит формулировка

Формулировки короткие: даны величины на чертеже, найти нужно одну. Обычно к условию прилагается рисунок треугольника. Примеры реальных формулировок из банка ФИПИ:

«В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $AC = 16$ , $AB = 40$ . Найдите $\sin B$ ».
«Катеты прямоугольного треугольника равны $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу этого треугольника».
«В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$ , $\angle ABC = 108^\circ$ . Найдите угол $BCA$ . Ответ дайте в градусах».

Ответ записывается в бланк № 1 без единиц измерения: только число. Градусы, сантиметры или квадратные сантиметры — это подсказка в условии, а в бланк идёт лишь численное значение ( $0{,}4$ , $17$ , $36$ ). Каждая цифра, запятая и знак минус — в отдельной клетке.

Теория: что нужно знать про треугольники

Задание 15 покрывается небольшим набором фактов. Разберём их по блокам — на них строятся почти все задачи.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ . Отсюда любой третий угол находится по двум известным.
Прямоугольный треугольник: один угол — $90^\circ$ , а сумма двух острых углов равна $90^\circ$ .
Равнобедренный треугольник: углы при основании равны. Высота, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой и медианой.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Равносторонний треугольник: все углы по $60^\circ$ , все стороны равны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c^2 = a^2 + b^2

Здесь $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза (сторона напротив прямого угла, всегда самая длинная). Если известны катет и гипотенуза, второй катет ищут так:

b = \sqrt{c^2 - a^2}

Полезно помнить «пифагоровы тройки» — наборы целых сторон: $3,4,5$ ; $6,8,10$ ; $5,12,13$ ; $8,15,17$ ; $9,40,41$ . Их узнавание экономит время.

Синус, косинус и тангенс острого угла

Для острого угла прямоугольного треугольника:

синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin\alpha = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$ ;
косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha = \dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$ ;
тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$ .

Запомнить, какой катет «противолежащий»: он лежит напротив угла, а «прилежащий» — образует угол вместе с гипотенузой. Синус и косинус острого угла — всегда число от $0$ до $1$ .

Площадь треугольника

через сторону и высоту к ней: $S = \tfrac{1}{2}\,a\,h$ ;
через две стороны и угол между ними: $S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin\gamma$ ;
для прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: $S = \tfrac{1}{2}\,a\,b$ (катеты сами служат основанием и высотой).

Помните про множитель $\tfrac{1}{2}$ : забыть разделить на $2$ — самая частая ошибка в формуле площади.

Алгоритм решения задания 15

Определите тип треугольника. Прямой угол (квадратик на чертеже), равные стороны (штрихи), равные углы — каждый признак подсказывает, какую теорему применять.
Перенесите все данные на чертёж. Подпишите известные стороны и углы прямо у соответствующих вершин и сторон — так вы не перепутаете, что противолежит углу, а что прилежит.
Выберите формулу под вопрос. Ищете угол — сумма углов или свойства равнобедренного/прямоугольного треугольника; сторону — теорема Пифагора или тригонометрия; площадь — одна из формул площади.
Подставьте числа и вычислите. Аккуратно возведите в квадрат, извлеките корень, сократите дробь. Десятичный ответ записывайте через запятую.
Проверьте здравым смыслом. Гипотенуза длиннее катета, синус острого угла меньше $1$ , сумма углов даёт $180^\circ$ . В бланк — только число, без единиц.

Закройте геометрический порог

Прорешайте 10–15 заданий 15 подряд — прямоугольный и равнобедренный треугольники начнут узнаваться с первого взгляда. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Синус острого угла (тригонометрия)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $AC = 16$ , $AB = 40$ . Найдите $\sin B$ .

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C, гипотенуза AB — Рисунок из реального задания банка ФИПИ

Решение:

Угол $C = 90^\circ$ , значит, треугольник прямоугольный, а $AB$ — гипотенуза (лежит напротив прямого угла). Катеты — это $AC$ и $BC$ .

Синус угла $B$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Напротив угла $B$ лежит катет $AC$ , гипотенуза — $AB$ :

\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} = 0{,}4

Ответ: 0,4. Проверка здравым смыслом: синус острого угла всегда меньше $1$ — значение $0{,}4$ в этот диапазон попадает.

Пример 2. Гипотенуза по катетам (теорема Пифагора)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Катеты прямоугольного треугольника равны $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу этого треугольника.

Прямоугольный треугольник с отмеченным прямым углом и двумя катетами — Рисунок из реального задания банка ФИПИ

Решение:

Прямой угол на чертеже отмечен квадратиком, поэтому треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора гипотенуза $c$ связана с катетами $a = 8$ и $b = 15$ :

c^2 = a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289

Извлекаем корень: $c = \sqrt{289} = 17$ (это известная пифагорова тройка $8,15,17$ ).

Ответ: 17. Проверка здравым смыслом: гипотенуза должна быть длиннее любого катета — $17 > 15$ , всё верно.

Пример 3. Угол равнобедренного треугольника

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$ , $\angle ABC = 108^\circ$ . Найдите угол $BCA$ . Ответ дайте в градусах.

Равнобедренный треугольник ABC с равными боковыми сторонами AB и BC (отмечены штрихами) и основанием AC — Рисунок из реального задания банка ФИПИ

Решение:

Стороны $AB$ и $BC$ равны (на чертеже отмечены штрихами), значит, треугольник равнобедренный с основанием $AC$ . Угол $ABC = 108^\circ$ — это угол при вершине, между равными сторонами.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$ . Обозначим каждый за $x$ . По теореме о сумме углов:

x + 108^\circ + x = 180^\circ

Отсюда $2x = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ , значит, $x = 36^\circ$ .

Ответ: 36. Проверка здравым смыслом: два угла по $36^\circ$ и один $108^\circ$ в сумме дают $36 + 36 + 108 = 180^\circ$ — сумма углов сошлась.

Типичные ошибки и ловушки

Путают синус и косинус

Берут прилежащий катет вместо противолежащего (или наоборот). Держите в голове: синус — противолежащий к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе. Отметьте на чертеже, какой катет лежит напротив нужного угла.

Путают катет и гипотенузу в теореме Пифагора

Если известны катет и гипотенуза, второй катет — это $\sqrt{c^2 - a^2}$ , а не $\sqrt{c^2 + a^2}$ . Например, для гипотенузы $41$ и катета $40$ второй катет равен $\sqrt{41^2 - 40^2} = 9$ , а не больше $41$ . Гипотенуза — всегда самая длинная сторона.

Угол при вершине вместо угла при основании

В равнобедренном треугольнике равны именно углы при основании (напротив равных сторон). Не приравнивайте к ним угол при вершине между равными сторонами — это разные углы.

Забывают разделить на 2 в площади

Площадь — это $\tfrac{1}{2}\,a\,h$ , а не просто $a\,h$ . Для прямоугольного треугольника с катетами $4$ и $9$ площадь равна $\tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 9 = 18$ , а не $36$ .

Единицы измерения в бланке

В бланк № 1 записывают только число, без «см», «градусов» и «см²». Десятичную дробь пишут через запятую, каждая цифра и запятая — в отдельной клетке.

Связь с другими заданиями

Задание 15 открывает геометрический модуль части 1. Дальше идут задания 16–19 — та же геометрия, но по другим фигурам. Вместе с ними и с заданиями части 2 (23–25) они формируют геометрический порог: минимум 2 балла за геометрию обязательны для положительной отметки. Освоив базовые теоремы про треугольники здесь, вы заодно готовите почву для соседних заданий:

Задание 16 — окружность Задание 17 — четырёхугольники Задание 18 — клетчатая бумага Задание 19 — верные утверждения Все задания ОГЭ по математике

Часть 2 геометрии — задания 23–25 (развёрнутый ответ, по 2 балла) — тоже опирается на свойства треугольников, но требует полного доказательного решения. Вместе с 15–19 они и создают геометрический порог.

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — теоремы и типы треугольников

Разберите по отдельности каждый блок теории: сумма углов и равнобедренный треугольник, теорема Пифагора (выучите пифагоровы тройки), определения синуса-косинуса-тангенса, формулы площади. Решайте по 5–7 заданий 15 в день, для каждого проговаривая вслух: что за треугольник, какую теорему применяю, что противолежит углу.

Неделя 2 — на скорость и без ошибок

Решайте задания 15 вперемешку, отводя на каждое не больше 2 минут, и отдельно проверяйте себя на типичных ловушках: не перепутан ли синус с косинусом, верно ли определён катет и гипотенуза, не забыт ли множитель $\tfrac{1}{2}$ в площади. Параллельно начинайте задания 16–19, чтобы закрыть геометрический порог с запасом.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 15 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Все задания части 1 ОГЭ по математике (№1–19) оцениваются по 1 баллу.

По действующей шкале ОГЭ по математике получить отметку выше «2» можно, только набрав не менее 2 баллов за геометрические задания. Геометрия — это задания 15–19 в части 1 и 23–25 в части 2. Задание 15 — самое доступное из них (базовый уровень), поэтому его осваивают первым: часто именно оно закрывает половину порога.

Треугольники и их элементы: сумма углов треугольника, свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс острого угла, площадь треугольника, а также медиана, биссектриса и высота. Нужно найти угол, сторону или площадь по данным на чертеже.

Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет лежит напротив угла, прилежащий образует угол вместе с гипотенузой. Отметьте нужный угол на чертеже и найдите катет напротив него — это и есть противолежащий.

В бланк № 1 записывают только число, без единиц измерения (без «см», «градусов», «см²»). Если ответ — десятичная дробь, её пишут через запятую, и каждая цифра, запятая или знак минус занимают отдельную клетку, без пробелов.

Необязательно, но полезно: узнавая наборы 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17, 9-40-41, вы находите третью сторону мгновенно, без вычисления корня. Если тройка не узнаётся, всегда работает сама теорема Пифагора.

Официального норматива на отдельное задание нет. Как ориентир — около 2 минут: задание базовое и сводится к одной формуле. Главное — не спешить с определением типа треугольника и не путать катет с гипотенузой.

Да. На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике загружены задания 15 из открытого банка ФИПИ — вы решаете их онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и разбираете решение с чертежом.

Готовы закрыть геометрический порог?

Задание 15 — самое доступное из геометрических и первый шаг к тем самым 2 баллам за геометрию, без которых не поставят выше «2». На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и доведёте базовые теоремы про треугольники до автоматизма.

Тренировать задание 15 Дальше: задание 16 Все задания ОГЭ по математике