Задание 20 ОГЭ по математике: уравнения, неравенства и системы

Задание 20 — это первое задание части 2 ОГЭ по математике, то есть первое, где нужен развёрнутый ответ: всё решение записывается в бланк № 2 полностью, с обоснованиями, а не только итоговое число. По официальной формулировке ФИПИ это «преобразование алгебраических выражений, решение уравнений, неравенств или систем уравнений» — конкретный прототип от варианта к варианту меняется (в демоверсии ОГЭ-2026 задание 20 подано как система уравнений). За полностью верное решение дают 2 первичных балла, уровень — повышенный. Это одно из самых доступных заданий второй части: чаще всего оно решается стандартным приёмом — разложением на множители, методом интервалов или методом сложения. В статье разберём все типы, критерии 2 / 1 / 0 баллов, тонкий вопрос про ОДЗ и покажем, как оформить решение так, чтобы эксперт поставил полный балл. Тренироваться удобно на реальных заданиях 20 ОГЭ онлайн — наш тренажёр принимает развёрнутое решение текстом и проверяет его ИИ по критериям ФИПИ.

Что проверяет задание 20

Задание 20 проверяет владение формально-оперативными навыками алгебры: умение преобразовать выражение, решить уравнение, неравенство или систему и грамотно записать ход решения. По формулировке ФИПИ задания 20 и 23 — наиболее простые в части 2; они направлены на технику, а не на нестандартную идею. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

раскладывать многочлены на множители (вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения);
решать квадратные уравнения любым способом (формула корней, теорема Виета, выделение полного квадрата);
применять метод интервалов к дробно-рациональным и разложенным на множители неравенствам;
решать системы уравнений методом подстановки и методом сложения;
делать замену переменной (например, $t = \tfrac{1}{x}$ ) и учитывать ОДЗ там, где это влияет на ответ;
оформлять решение так, чтобы был понятен ход рассуждений и виден каждый шаг.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена и тематика заданий 20–25 не менялись с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию, спецификацию и методические рекомендации ФИПИ для экспертов 2026 года.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (возможен 1 балл — см. критерии)
Уровень сложности	Повышенный
Формат ответа	Развёрнутое решение с обоснованиями в бланке № 2
Раздел	Уравнения, неравенства, системы (алгебра)
Рекомендуемое время	≈ 8–12 минут (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	9 и 13 (часть 1), 21 (часть 2)

Задания части 2 необязательны для тройки: чтобы получить «3», достаточно баллов первой части. Но именно вторая часть решает, будет ли у вас «4» или «5». Задание 20 — самая доступная точка входа в неё: техника здесь школьная, а два балла берутся аккуратным оформлением.

Проверьте своё решение по критериям ФИПИ

В тренажёре Repet.ai вы вводите развёрнутое решение задания 20 текстом, а ИИ проверяет его по критериям ФИПИ и ставит 0, 1 или 2 балла с пояснением, где потеряны баллы.

Решать задание 20

Как выглядит формулировка

Формулировка предельно короткая — «Решите уравнение», «Решите неравенство» или «Решите систему уравнений». Главное, что́ именно вам попадётся, заранее неизвестно: прототип варьируется. Примеры реальных формулировок из открытого банка ФИПИ:

Решите уравнение $x^{3} + 4x^{2} = 9x + 36$ — кубическое, решается группировкой.
Решите систему уравнений $\begin{cases} x^{2} + y = 5, \\ 6x^{2} - y = 2. \end{cases}$ — метод сложения.
Решите неравенство $\dfrac{-10}{(x - 3)^{2} - 5} \geq 0$ — дробно-рациональное, анализ знаков.

Обратите внимание: во всех трёх случаях нужно не просто назвать ответ, а показать решение. Даже если корни очевидны, без записанных преобразований эксперт не сможет поставить 2 балла.

Основные методы решения

Задание 20 почти всегда решается одним из четырёх стандартных приёмов. Разберём каждый и отдельно — как оформить решение, чтобы не потерять балл.

Разложение на множители и группировка

Главный приём для уравнений выше второй степени: перенести всё в одну часть (чтобы справа был ноль) и представить левую часть как произведение множителей. Тогда уравнение $A \cdot B = 0$ равносильно совокупности $A = 0$ или $B = 0$ .

В кубических уравнениях работает группировка: разбиваем четыре слагаемых на пары и выносим общий множитель. Для $x^{3} + 3x^{2} - x - 3$ :

x^{2}(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(x^{2} - 1) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)

Полезно помнить формулы сокращённого умножения — разность квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ и квадрат суммы/разности: они превращают громоздкое выражение в произведение скобок.

Неравенства: метод интервалов и дроби

Неравенство сначала приводят к виду «выражение $\gtrless 0$ »: всё переносят в левую часть и раскладывают на множители или сводят к одной дроби. Дальше работает метод интервалов:

находим нули числителя и знаменателя — они разбивают числовую прямую на промежутки;
на каждом промежутке определяем знак выражения (по знакам множителей или подстановкой пробной точки);
выбираем промежутки с нужным знаком; корни знаменателя всегда исключаются (деление на ноль недопустимо), корни числителя включаются только для нестрогих $\leq$ / $\geq$ .

Иногда анализ ещё проще: если числитель — известное число (скажем, $-10$ ), знак дроби целиком определяется знаком знаменателя. Тогда неравенство сводится к неравенству для знаменателя.

Системы: подстановка и сложение

В демоверсии ОГЭ-2026 задание 20 — именно система. Два основных метода:

Метод подстановки. Выражаем одну переменную из более простого уравнения и подставляем во второе. Удобно, когда в одном уравнении переменная стоит с коэффициентом $1$ .
Метод сложения. Если переменная входит в уравнения с противоположными коэффициентами (например, $+y$ и $-y$ ), сложение уравнений сразу её убирает. Так, $(x^{2}+y)+(6x^{2}-y)=5+2$ даёт $7x^{2}=7$ .

Найдя одну переменную, обязательно возвращаемся ко второму уравнению и находим вторую. Ответ системы записывают парами $(x;\,y)$ , а не по отдельности.

Как оформить решение на 2 балла

По методическим рекомендациям ФИПИ развёрнутое решение должно быть «математически грамотным и полным», а из записи должен быть понятен ход рассуждений. Что это значит на практике:

Записывайте ключевые шаги: перенос в одну часть, разложение на множители, переход к совокупности уравнений, ответ. Лаконичное решение без неверных утверждений — это решение без недостатков, длинных комментариев не требуется.
Общеизвестными фактами (формулы корней, теорема Виета, формулы сокращённого умножения) можно пользоваться без доказательства.
В конце обязательно напишите «Ответ: …» — с перечислением всех корней или записью промежутка. Пропущенный ответ эксперт может не засчитать.
Единственно верного «эталона» оформления нет: засчитываются разные корректные способы решения.

Контринтуитивно про ОДЗ

ФИПИ считает формальное выписывание ОДЗ избыточным, когда ограничения очевидны из смысла: например, при использовании теоремы Виета проверка дискриминанта не нужна, а доводить условие $6 - x \geq 0$ до вида $x \leq 6$ ради ритуала не требуется — балл за это не снимут и не добавят. Но там, где ОДЗ реально влияет на ответ (корень знаменателя совпал с корнем уравнения — посторонний корень; чётный корень), проверку делать обязательно, иначе лишний корень в ответе — это ошибка.

Критерии оценивания: 2, 1 или 0 баллов

Это ключ ко всей второй части. Дословно по критериям ФИПИ для задания 20:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1
Решение не соответствует ни одному из критериев выше	0

Важнейший нюанс про 1 балл

1 балл ставят только за вычислительную (арифметическую) ошибку при в целом верном методе — когда после ошибки все шаги согласованы с ней. А вот логическая или методическая ошибка (неверный метод, неверное разложение на множители, потерянный знак при переходе, ошибочная расстановка знаков в методе интервалов) — это 0 баллов, а не 1. Поэтому надёжнее потратить минуту на самопроверку метода, чем спешить.

Алгоритм решения задания 20

Определите тип. Уравнение, неравенство или система? От этого зависит метод: группировка, метод интервалов или подстановка/сложение.
Приведите к удобному виду. Перенесите всё в одну часть, чтобы справа был ноль (для уравнений и неравенств), или выберите, что складывать/подставлять (для системы).
Разложите на множители или примените метод. Группировка, формулы сокращённого умножения, замена переменной, метод сложения — выберите подходящий приём.
Найдите корни или промежутки. Для уравнения — приравняйте каждый множитель к нулю; для неравенства — расставьте знаки на числовой прямой; для системы — найдите вторую переменную.
Проверьте ОДЗ там, где оно влияет на ответ. В дробно-рациональных выражениях убедитесь, что корни не обращают знаменатель в ноль; посторонние корни отбросьте.
Запишите «Ответ». Перечислите все корни, запишите промежуток или пары $(x;\,y)$ — в зависимости от типа задания.

Учитесь оформлять, а не только считать

Прорешайте 10–15 заданий 20 разных типов подряд. В тренажёре Repet.ai можно записать полное решение и увидеть, где эксперт снял бы балл — по реальным критериям ФИПИ.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Три реальных задания из открытого банка ФИПИ — по одному на каждый основной тип. Решения оформлены так, как их хочет видеть эксперт в бланке № 2: с обоснованием каждого шага и итоговым ответом.

Пример 1. Кубическое уравнение (группировка)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Решите уравнение $x^{3} + 4x^{2} = 9x + 36$ .

Решение:

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался ноль:

x^{3} + 4x^{2} - 9x - 36 = 0.

Разложим левую часть на множители способом группировки — сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвёртым:

(x^{3} + 4x^{2}) - (9x + 36) = x^{2}(x + 4) - 9(x + 4) = 0.

Вынесем общий множитель $(x + 4)$ , а второй множитель разложим как разность квадратов $x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)$ :

(x + 4)(x^{2} - 9) = (x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4; \quad x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3; \quad x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3.

Все преобразования равносильны исходному уравнению, поэтому найдены все корни.

Ответ: $-4;\ -3;\ 3$ . Проверка здравым смыслом: подставив, например, $x = 3$ в исходное уравнение, получаем $27 + 36 = 27 + 36$ — верно.

Пример 2. Система уравнений (метод сложения)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Решите систему уравнений $\begin{cases} x^{2} + y = 5, \\ 6x^{2} - y = 2. \end{cases}$

Решение:

Переменная $y$ входит в первое уравнение с коэффициентом $+1$ , а во второе — с коэффициентом $-1$ . Поэтому удобен метод сложения: сложим левые и правые части — $y$ сократится:

(x^{2} + y) + (6x^{2} - y) = 5 + 2 \;\Rightarrow\; 7x^{2} = 7 \;\Rightarrow\; x^{2} = 1.

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$ . Найдём $y$ из первого уравнения $x^{2} + y = 5$ . Так как в обоих случаях $x^{2} = 1$ , значение $y$ одно и то же:

1 + y = 5 \;\Rightarrow\; y = 4.

Значит, система имеет два решения: при $x = 1$ и при $x = -1$ одинаковое $y = 4$ .

Ответ: $(1;\,4),\ (-1;\,4)$ . Проверка здравым смыслом: подставим $(1;\,4)$ во второе уравнение — $6\cdot 1 - 4 = 2$ , верно.

Пример 3. Дробно-рациональное неравенство

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Решите неравенство $\dfrac{-10}{(x - 3)^{2} - 5} \geq 0$ .

Решение:

Числитель дроби равен $-10$ — отрицательное число. Дробь с отрицательным числителем неотрицательна только тогда, когда её знаменатель отрицателен (нулю знаменатель равняться не может — деление на ноль не определено). При этом сама дробь оказывается строго положительной, поэтому знак $\geq$ выполняется. Значит, неравенство равносильно неравенству для знаменателя:

(x - 3)^{2} - 5 < 0.

Представим $5 = (\sqrt{5})^{2}$ и разложим левую часть по формуле разности квадратов:

\bigl((x - 3) - \sqrt{5}\bigr)\bigl((x - 3) + \sqrt{5}\bigr) < 0.

Корни соответствующего уравнения — $x_{1} = 3 - \sqrt{5}$ и $x_{2} = 3 + \sqrt{5}$ . Выражение $(x - 3)^{2} - 5$ — парабола ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями:

3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}.

Ответ: $(3 - \sqrt{5};\ 3 + \sqrt{5})$ . Проверка здравым смыслом: в середине промежутка при $x = 3$ знаменатель равен $-5 < 0$ , а дробь $\tfrac{-10}{-5} = 2 \geq 0$ — условие выполнено.

Типичные ошибки и ловушки

Ошибка в разложении на множители

Неверная группировка или ошибка в формуле сокращённого умножения — это логическая ошибка, а не вычислительная. Она обнуляет задание (0 баллов, а не 1). Проверяйте разложение обратным раскрытием скобок.

Потеря корня при сокращении

Деление обеих частей на выражение с переменной (например, на $(x - a)$ ) может «съесть» корень. Вместо деления переносите всё в одну часть и раскладывайте на множители.

Посторонний корень в дробно-рациональных

Если найденный корень обращает знаменатель в ноль, он не входит в ответ. Именно здесь проверка ОДЗ обязательна — в отличие от очевидных случаев, где ФИПИ считает её избыточной.

Неверные знаки в методе интервалов

Ошибочная расстановка знаков на числовой прямой или неверное включение/исключение границ (строгое vs нестрогое неравенство) — частая причина неверного промежутка. Проверяйте знак пробной точкой.

Найдена не вся система

В системе нельзя останавливаться, найдя одну переменную: нужно вернуться и найти вторую, а ответ записать парами $(x;\,y)$ . Пропуск второй переменной — неполное решение.

Пропущенные шаги и отсутствие ответа

Развёрнутое решение должно давать понятный ход рассуждений, а в конце — строку «Ответ: …». Голый итог без выкладок или выкладки без итога могут стоить балла.

Связь с другими заданиями

Задание 20 опирается на технику первой части и открывает вторую. Отработайте базовые версии этого навыка и следующий шаг по сложности:

Задание 9 — уравнения (краткий ответ)Задание 13 — неравенства Задание 21 — текстовая задача Все задания ОГЭ по математике

Задания 9 и 13 первой части — это те же уравнения и неравенства, но с кратким ответом: отличная разминка перед развёрнутым решением. Задание 21 — текстовая задача, которая сводится к уравнению или системе: тот же алгебраический аппарат, что и в задании 20, но на шаг сложнее (нужно ещё составить модель).

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — техника по типам

Разберите каждый тип отдельно: 2–3 дня на уравнения (группировка, замена переменной, дробно-рациональные), день на неравенства (метод интервалов), день на системы (подстановка и сложение). После каждого решённого задания сверяйте не только ответ, но и оформление: все ли шаги записаны, есть ли строка «Ответ». Решайте по 4–6 заданий в день.

Неделя 2 — вперемешку и на балл

Решайте задания 20 разных типов вперемешку, отводя на каждое 8–12 минут, и оценивайте себя по критериям ФИПИ: 2 балла — только за обоснованный верный ответ, 1 — за чисто вычислительную ошибку, 0 — за логическую. Отдельно тренируйте самопроверку: подставь корень обратно, проверь границы промежутка, проверь ОДЗ там, где оно влияет на ответ.

Возьмите первые баллы части 2

Задание 20 — самый доступный способ добрать баллы на «4» и «5». На Repet.ai собраны реальные задания 20 из банка ФИПИ; вводите развёрнутое решение и получайте оценку ИИ по критериям.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Максимум 2 первичных балла. 2 балла — за обоснованно полученный верный ответ; 1 балл — если решение доведено до конца, но есть вычислительная (арифметическая) ошибка, а последующие шаги согласованы с ней; 0 баллов — во всех остальных случаях. Это первое задание части 2 с развёрнутым ответом.

1 балл — только за чисто вычислительную ошибку при верном методе (например, ошиблись в арифметике, но метод и логика верны). Логическая или методическая ошибка — неверное разложение на множители, неверный метод, потерянный знак, ошибочная расстановка знаков в методе интервалов — это сразу 0 баллов, а не 1.

Прототип варьируется: это может быть уравнение (чаще кубическое, решаемое группировкой, или дробно-рациональное), неравенство (метод интервалов) или система уравнений. В демоверсии ОГЭ-2026 задание 20 — система уравнений. Готовиться нужно ко всем трём типам.

Не всегда. ФИПИ считает формальное выписывание ОДЗ избыточным, когда ограничения очевидны из смысла (например, проверка дискриминанта при теореме Виета не требуется). Но там, где ОДЗ реально влияет на ответ — в дробно-рациональных уравнениях, где корень может обратить знаменатель в ноль, — проверку делать обязательно, иначе посторонний корень в ответе будет ошибкой.

Решение должно быть математически грамотным и полным, чтобы был понятен ход рассуждений: записывайте ключевые шаги (перенос в одну часть, разложение, переход к уравнениям, ответ) и обязательно строку «Ответ: …». Общеизвестными фактами (формулы корней, теорема Виета) можно пользоваться без доказательства. Единственно верного эталона оформления нет — засчитываются разные корректные способы.

Для отметки «3» задания части 2 необязательны — достаточно баллов первой части. Но задание 20 — самое доступное во второй части, а именно вторая часть определяет «4» и «5». Взять эти 2 балла проще всего именно здесь: техника школьная, а балл берётся аккуратным оформлением.

Официального норматива на отдельное задание нет. По опыту подготовки на задание 20 разумно закладывать около 8–12 минут: пары минут на выбор метода и остальное — на аккуратную запись решения и самопроверку. Весь экзамен длится 235 минут (3 часа 55 минут).

Да. На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике загружены задания 20 из открытого банка ФИПИ. Особенность в том, что тренажёр принимает развёрнутое решение текстом и проверяет его ИИ по критериям ФИПИ, выставляя 0, 1 или 2 балла с пояснением, — это ближе к реальной проверке эксперта, чем сверка одного лишь ответа.

Готовы открыть часть 2?

Задание 20 — самый короткий путь к первым баллам развёрнутой части и к отметкам «4» и «5». На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ, а ИИ проверит ваше решение по критериям и покажет, где можно потерять балл. Решайте, оформляйте, доводите технику до автоматизма.

Тренировать задание 20 Повторить: задание 13 Все задания ОГЭ по математике