Задание 21 ОГЭ по математике: текстовая задача

Задание 21 — это текстовая (сюжетная) задача из части 2 ОГЭ по математике. Здесь недостаточно записать ответ: нужно привести полное решение с обоснованием в бланк № 2 — ввести переменную, составить уравнение, решить его и отобрать корни по смыслу задачи. За верное решение дают 2 первичных балла, ещё 1 балл можно получить за верную математическую модель с непринципиальной ошибкой. Уровень — повышенный; по методическим рекомендациям ФИПИ задание 21 относят к более сложным внутри части 2 (наравне с геометрическим заданием 24). Основные сюжеты: движение (в том числе по воде с течением), работа и совместная производительность, проценты, смеси и сплавы. В статье — метод для каждого типа, образец оформления на 2 балла по критериям ФИПИ, три разбора реальных заданий из открытого банка и типичные ошибки, за которые снимают балл. Тренироваться можно на реальных заданиях 21 ОГЭ онлайн — тренажёр REPET принимает развёрнутое решение текстом и проверяет его ИИ по критериям ФИПИ на 0, 1 или 2 балла.

Что проверяет задание 21

Задание проверяет умение перевести словесное условие на язык математики: обозначить неизвестную величину, выразить через неё остальные, составить уравнение (обычно оно сводится к квадратному) и, решив его, выбрать корень, который имеет смысл в задаче. По сути это развёрнутый аналог кратких «сюжетных» задач части 1, но здесь обязательна запись самой модели и хода решения. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

вводить переменную с указанием, что именно она обозначает, и в каких единицах;
выражать величины по условию (время как $t = S/v$ , производительность как $1/t$ и т. п.);
составлять уравнение по данной в условии связи (разность времён, сумма путей, баланс вещества);
решать уравнение, чаще всего квадратное;
отбирать корни по смыслу задачи (скорость, масса, время $> 0$ ) и давать ответ ровно на поставленный вопрос, с единицами.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года и на «Методические рекомендации для предметных комиссий» (ФИПИ, 2025).

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (возможен 1 балл за верную модель с непринципиальной ошибкой)
Уровень сложности	Повышенный (внутри части 2 — из более сложных)
Формат ответа	Развёрнутое решение с обоснованием в бланк № 2
Раздел	Часть 2, алгебра (текстовая задача)
Рекомендуемое время	≈ 12–18 минут (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	9 и 14 (часть 1), 20 (часть 2)

Часть 2 (задания 20–25) необязательна для тройки: набрать проходной минимум можно и на части 1. Но именно задания части 2 решают, будет ли у вас «4» или «5»: за них дают по 2 балла, а всего за работу максимум 31 балл (шкала 2026 года: «3» — 8–14, «4» — 15–21, «5» — 22–31). Задание 21 — алгебраическое, поэтому в геометрический минимум (не менее 2 баллов за геометрию) оно не входит; этот минимум закрывают задания 23–25.

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 21 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ. Пишете развёрнутое решение — ИИ REPET проверяет его по критериям ФИПИ и ставит 0, 1 или 2 балла с разбором.

Решать задание 21

Как выглядит формулировка

Формулировки короткие, но за каждой стоит своя модель. Обратите внимание на последнюю фразу — именно она задаёт, что искать и в каких единицах давать ответ. Примеры реальных формулировок из банка ФИПИ:

«Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше… Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч» (тип «движение по воде»).
«Игорь и Паша могут покрасить забор за 20 часов, Паша и Володя — за 21 час, Володя и Игорь — за 28 часов. За какое время они покрасят забор, работая втроём? Ответ дайте в минутах» (тип «совместная работа»).
«Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?» (тип «проценты и смеси»).

Разберём каждый из этих типов по отдельности, а затем соберём универсальный алгоритм и образец оформления.

Типы задач и методы решения

Больших тем в задании 21 три: движение, работа и проценты (смеси). К ним добавим самое важное для части 2 — как оформить решение, чтобы получить оба балла.

Движение и течение

Всё держится на связи $S = v\cdot t$ , откуда $t = \dfrac{S}{v}$ . Удобно свести данные в таблицу «объект — $v$ — $t$ — $S$ »: заполняете известное, а неизвестные выражаете через переменную.

По прямой (навстречу, вдогонку, туда-обратно). Условие даёт разность времён или сумму путей — это и есть уравнение.
По воде (с течением). Если $x$ — собственная скорость лодки, а $v_{\text{т}}$ — скорость течения, то скорость против течения равна $x - v_{\text{т}}$ , по течению — $x + v_{\text{т}}$ :

t_{\text{против}}=\frac{S}{x-v_{\text{т}}},\qquad t_{\text{по}}=\frac{S}{x+v_{\text{т}}}.

Ограничение на переменную: $x > v_{\text{т}}$ (иначе лодка не пойдёт против течения), а скорость всегда $> 0$ . Эти ограничения понадобятся на этапе отбора корней.

Работа и производительность

Весь объём работы принимают за $1$ (или за конкретное число деталей). Производительность — это часть работы в единицу времени: если объект выполняет всю работу за $t$ , его производительность равна $\dfrac{1}{t}$ .

Совместная работа. Производительности складываются:

\frac{1}{t}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\dots

Для «попарных» условий (Игорь и Паша, Паша и Володя…) удобно ввести производительности каждого за неизвестные и составить систему уравнений.
Если объём задан числом деталей $A$ , то время каждого — это $A/P$ , где $P$ — производительность (деталей в час).
Часто просят перевести ответ в минуты — не забудьте это сделать в самом конце.

Проценты, смеси и сплавы

Ключевая величина — масса вещества (сухого остатка, кислоты, соли, металла), а не масса всего раствора. Концентрация — это доля вещества в смеси:

\text{масса вещества} = \text{концентрация}\times\text{масса раствора}.

При смешивании масса вещества сохраняется: сумма масс вещества в частях равна массе вещества в смеси — на этом балансе и составляют уравнение.
Проценты переводите в доли: $79\% = 0{,}79$ , $16\% = 0{,}16$ . Следите, от какой массы берётся процент.
Ограничения: массы $> 0$ , концентрации в пределах $0 \le c \le 1$ (то есть 0–100 %).

Как оформить решение на 2 балла

За задание 21 дают 2 балла, если ход решения верный и получен верный ответ. 1 балл — если математическая модель составлена верно, но решение не доведено до конца либо содержит непринципиальную вычислительную ошибку. 0 баллов — если модель неверна, записи фрагментарны или приведён только ответ без решения. Чтобы гарантированно получить оба балла, в бланке № 2 должно быть:

Введена переменная с явным смыслом и единицами: «Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде».
Выражены величины по условию и составлено уравнение (или система) — так, чтобы был виден ход рассуждений.
Уравнение решено и отобраны корни по смыслу задачи — посторонний корень явно отброшен с указанием причины (например, «отрицательный корень посторонний, так как скорость $> 0$ »).
Дан ответ ровно на вопрос, с единицами. Если спрашивают скорость второго — писать скорость второго, а не первого; если просят «в минутах» — перевести в минуты.

Хорошая новость: по методическим рекомендациям ФИПИ отсутствие словесных комментариев к очевидным шагам в общепринятых обозначениях не является основанием для снижения баллов. То есть длинные пояснения к стандартной модели необязательны, если решение математически грамотно и полно. Эксперт не оценивает аккуратность оформления — важны математическая корректность и завершённость.

Именно так проверяет и тренажёр REPET: ИИ смотрит на модель, ход и итог по критериям ФИПИ, а не на почерк.

Универсальный алгоритм решения

Определите тип задачи. Движение, работа или проценты/смеси — от этого зависит, какую величину брать за неизвестную.
Введите переменную. Обозначьте искомую (или удобную промежуточную) величину за $x$ , явно указав её смысл и единицы. Сразу выпишите ограничение (обычно $x > 0$ , для лодки $x > v_{\text{т}}$ ).
Выразите остальные величины через $x$ по формулам типа $t = S/v$ или $P = 1/t$ ; при желании — в таблице.
Составьте уравнение по данной в условии связи (разность времён, сумма, баланс вещества) и приведите его к стандартному виду — чаще всего к квадратному.
Решите уравнение и найдите все корни.
Отберите корни по смыслу и дайте ответ на вопрос с нужными единицами. Это тот шаг, на котором чаще всего теряют балл.

Научитесь оформлять решение, а не только считать

Прорешайте 8–10 задач 21 подряд, записывая полное решение. ИИ REPET укажет, где модель верна, но балл теряется на отборе корней или ответе не на тот вопрос.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Три разбора ниже — реальные задания из открытого банка ФИПИ, по одному на каждый тип. Решение оформлено так, как эксперт хочет видеть его в бланке № 2.

Пример 1. Моторная лодка (движение по воде)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость против течения равна $(x-2)$ км/ч, а по течению — $(x+2)$ км/ч. Лодка движется, поэтому $x > 2$ .

В каждом направлении путь равен $297$ км, время находим как $t = S/v$ :

t_{\text{против}}=\frac{297}{x-2},\qquad t_{\text{по}}=\frac{297}{x+2}.

Обратный путь занял на 3 часа меньше, значит время против течения больше на 3 часа. Составим уравнение:

\frac{297}{x-2}-\frac{297}{x+2}=3.

Разделим обе части на 3 и приведём к общему знаменателю $(x-2)(x+2)=x^2-4$ :

\frac{99}{x-2}-\frac{99}{x+2}=1,\qquad \frac{99(x+2)-99(x-2)}{x^2-4}=1,\qquad \frac{396}{x^2-4}=1.

Отсюда $x^2-4=396$ , то есть $x^2=400$ и $x=\pm 20$ .

Отбор корней. Условию $x > 2$ удовлетворяет только $x=20$ ; корень $x=-20$ посторонний, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 20 км/ч. Проверка здравым смыслом: при $x=20$ время против течения $297/18=16{,}5$ ч, по течению $297/22=13{,}5$ ч — разница ровно 3 часа, как в условии.

Пример 2. Двое рабочих (производительность)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение:

Пусть $x$ — число деталей, которые первый рабочий делает за час (его производительность). Тогда второй делает $(x-5)$ деталей в час. Оба работают, поэтому $x > 5$ .

Заказ в 180 деталей каждый выполняет за время $t = A/P$ :

t_1=\frac{180}{x},\qquad t_2=\frac{180}{x-5}.

Первый справляется на 3 часа быстрее, значит время второго больше на 3 часа. Составим уравнение:

\frac{180}{x-5}-\frac{180}{x}=3.

Разделим на 3 и приведём к общему знаменателю $x(x-5)$ :

\frac{60}{x-5}-\frac{60}{x}=1,\qquad \frac{60x-60(x-5)}{x(x-5)}=1,\qquad \frac{300}{x^2-5x}=1.

Получаем квадратное уравнение $x^2-5x-300=0$ . Его дискриминант

D=(-5)^2-4\cdot(-300)=25+1200=1225,\qquad \sqrt{D}=35,

x_1=\frac{5+35}{2}=20,\qquad x_2=\frac{5-35}{2}=-15.

Отбор корней. Производительность положительна, поэтому $x_2=-15$ — посторонний корень; остаётся $x=20$ (и $20 > 5$ ).

Ответ: 20 деталей в час. Проверка: второй делает $15$ деталей в час, время $180/15=12$ ч против $180/20=9$ ч у первого — разница 3 часа, как в условии.

Пример 3. Сушка фруктов (проценты и смеси)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Решение:

При сушке испаряется только вода, а масса сухого вещества не меняется — на этом и строится решение.

Найдём долю сухого вещества. В свежих фруктах воды $79\%$ , значит сухого вещества $100\% - 79\% = 21\%$ . В высушенных воды $16\%$ , значит сухого вещества $100\% - 16\% = 84\%$ .

Масса сухого вещества в 72 кг высушенных фруктов:

72\cdot 0{,}84 = 60{,}48\ \text{кг}.

Столько же сухого вещества было и в свежих фруктах, где оно составляет $21\%$ всей массы. Пусть $x$ кг — масса свежих фруктов, тогда

0{,}21\,x = 60{,}48,\qquad x=\frac{60{,}48}{0{,}21}=288.

Ответ: 288 кг. Проверка здравым смыслом: свежих фруктов должно быть заметно больше, чем сухих (в них много воды), — 288 кг против 72 кг, всё логично.

Типичные ошибки и ловушки

Не отброшен посторонний корень

Оставили отрицательную скорость, время или массу — или не написали, почему один из корней не подходит. Всегда явно отбирайте корни по смыслу: скорость, масса и время $> 0$ , для лодки — ещё $x > v_{\text{т}}$ .

Ответ не на тот вопрос

Модель верна, но вычислена скорость первого вместо второго (или производительность вместо времени). По критериям ФИПИ это ровно тот случай, когда за верную модель ставят только 1 балл вместо 2. Перечитайте вопрос перед тем, как записать ответ.

Ошибка в описании переменных

Неверно обозначили, что есть $x$ → неверное уравнение → 0 баллов, даже если дальше всё посчитано аккуратно. Сначала чётко проговорите, что обозначает переменная и в каких единицах.

Путаница единиц

Смешали км/ч и м/с, часы и минуты или забыли перевести ответ в требуемые единицы («ответ дайте в минутах»). Переводите единицы в самом конце и проверяйте, что просили в условии.

Неверная база процентов

В задачах на смеси процент берут не от той массы (от раствора вместо вещества) или складывают концентрации вместо масс вещества. Работайте с массой вещества и её сохранением, а проценты сразу переводите в доли.

Только ответ, без решения

Записанный без выкладок ответ (даже верный) — это 0 баллов. Задание 21 оценивают по решению: нужны переменная, уравнение и ход. Несвязные, фрагментарные записи тоже дают 0.

Связь с другими заданиями

Задание 21 опирается на технику из части 1 и стоит рядом с другими алгебраическими заданиями. Полезно отработать:

Задание 9 — уравнения Задание 14 — прогрессии Задание 20 — часть 2 Все задания ОГЭ по математике

Задание 9 — решение уравнений, в том числе квадратных: это финальный шаг почти любой задачи 21.
Задание 14 — прогрессии и другая «сюжетная» алгебра части 1, близкая по духу к текстовым задачам.
Задание 20 — тоже часть 2 (уравнения, неравенства, системы), но считается более простым; тот же навык «решить уравнение с обоснованием», к которому сводится задание 21.

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — разбираемся с типами и моделью

Отдельно проработайте каждый тип: движение по прямой и по воде, совместная работа, проценты и смеси. Для каждой задачи проговаривайте вслух: что за $x$ , какое ограничение, по какой связи составлено уравнение. Решайте по 3–4 задачи в день, каждый раз записывая полное решение от «Пусть $x$ …» до «Ответ: …», а не только итог.

Неделя 2 — оформление на 2 балла

Решайте задачи вперемешку и после каждой проверяйте себя как эксперт: введена ли переменная с единицами, обоснованно ли составлено уравнение, отброшены ли посторонние корни, дан ли ответ ровно на вопрос и в нужных единицах. Прогоняйте решения через тренажёр REPET — ИИ оценит их по критериям ФИПИ и покажет, где теряется второй балл.

Проверьте своё решение по критериям ФИПИ

На REPET собраны задания 21 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Пишете развёрнутое решение — ИИ проверяет модель, ход и ответ и ставит 0, 1 или 2 балла с разбором.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Максимум 2 первичных балла. 2 балла — если ход решения верный и получен верный ответ. 1 балл — если математическая модель составлена верно, но решение не доведено до конца либо содержит непринципиальную вычислительную ошибку. 0 баллов — если модель неверна, записи фрагментарны или приведён только ответ без решения.

Нет. Часть 2 (задания 20–25) необязательна для положительной отметки: проходной минимум можно набрать на части 1. Но задание 21 нужно тем, кто идёт на «4» или «5»: оно даёт 2 балла из максимальных 31. Это алгебраическое задание, поэтому в геометрический минимум (не менее 2 баллов за геометрию) оно не входит.

Нет. По методическим рекомендациям ФИПИ отсутствие комментариев к очевидным шагам в общепринятых обозначениях не является основанием для снижения баллов. Достаточно, чтобы решение было математически грамотным и полным: введена переменная, составлено уравнение, решено, отобраны корни и дан ответ. Эксперт не оценивает аккуратность оформления — только математику.

Частый случай: модель составлена верно, но ответ дан не на тот вопрос (нашли скорость первого вместо второго) либо допущена непринципиальная вычислительная ошибка, либо решение не доведено до числа. Тогда ставят 1 балл. Чтобы получить оба балла, доводите решение до конца и отвечайте ровно на вопрос задачи.

Основные типы: движение (по прямой — навстречу, вдогонку, туда-обратно; и по воде с течением), работа и совместная производительность, а также проценты, смеси и сплавы (концентрация, содержание воды в фруктах, кислоты в растворе). Все они сводятся к составлению уравнения, чаще всего квадратного.

После решения уравнения проверьте каждый корень по смыслу задачи: скорость, масса и время должны быть положительными, а для лодки собственная скорость больше скорости течения. Посторонний корень нужно явно отбросить, указав причину («отрицательный корень посторонний, скорость больше нуля»). Именно на этом шаге чаще всего снимают балл.

Да. На REPET в разделе ОГЭ по математике загружены задания 21 из открытого банка ФИПИ. Вы пишете развёрнутое решение текстом, а ИИ проверяет его по критериям ФИПИ и ставит 0, 1 или 2 балла с разбором — это помогает научиться именно оформлению на полный балл, а не только получению ответа.

Готовы брать баллы части 2?

Задание 21 — это надёжные 2 балла на пути к «4» и «5», если довести навык до автоматизма: ввести переменную, составить уравнение, отобрать корни и ответить на вопрос. На REPET собраны реальные задания из банка ФИПИ, а ИИ проверяет развёрнутое решение по критериям ФИПИ. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и оформление на 2 балла станет привычкой.

Тренировать задание 21 Разбор задания 20 Все задания ОГЭ по математике