Задание 8 ОГЭ по математике: числа, вычисления и алгебраические выражения (степени и корни)

Задание 8 ОГЭ по математике проверяет умение преобразовывать числовые и алгебраические выражения: работать со степенями с целым показателем, с арифметическим квадратным корнем и с формулами сокращённого умножения, а также подставлять значение переменной. По демоверсии 2026 года формулировка чаще всего звучит как «Найдите значение выражения». За верный ответ дают 1 первичный балл, уровень — базовый. Важно: ответ здесь — это краткое число, которое записывают в бланк №1, а не выбор из четырёх вариантов (устаревший формат, который до сих пор встречается на многих сайтах). В статье — все нужные свойства степеней и корней, формулы сокращённого умножения, пошаговый алгоритм, три подробных разбора реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 8 ОГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 8

Тема задания — «Числа, вычисления и алгебраические выражения», а конкретно преобразования выражений со степенями и корнями. От вас требуется не «угадать» ответ, а грамотно упростить выражение по правилам алгебры и получить точное число. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

применять свойства степени с целым (в том числе отрицательным) показателем;
работать с арифметическим квадратным корнем: вносить и выносить множитель, умножать и делить корни, оценивать корень соседними точными квадратами;
раскрывать скобки по формулам сокращённого умножения $(a\pm b)^2$ и $a^2-b^2$ ;
подставлять значение переменной, сначала упростив выражение;
записывать краткий числовой ответ в бланк — без выбора из вариантов.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли (обычно их публикуют ближе к концу августа), но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Краткий числовой ответ в бланк №1 (не выбор из вариантов)
Раздел	Числа, вычисления и алгебраические выражения (степени и корни)
Рекомендуемое время	≈ 2–5 минут (ориентир; официального норматива на отдельное задание нет)
Связанные задания	6 (числа и вычисления), 7 (координатная прямая), 12 (расчёты по формулам), 13 (неравенства)

Небольшой ориентир по всему экзамену: ОГЭ по математике — это 25 заданий (часть 1 — 19 заданий с кратким ответом, часть 2 — 6 заданий с развёрнутым решением), максимум 31 первичный балл. Порог на «3» — 8–14 баллов (при этом не менее 2 баллов за геометрию), на «4» — 15–21, на «5» — 22–31. Задание 8 из части 1 — из тех, что стоит забирать уверенно: по открытым данным, больше 40% ошибок на ОГЭ приходится на первые пять заданий и геометрию, то есть задание 8 не относится к самым провальным.

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 8 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 8

Как выглядит формулировка

В подавляющем большинстве случаев формулировка — это короткое «Найдите значение выражения», а дальше идёт само выражение со степенями или корнями. Никаких вариантов ответа не предлагается: вы получаете число и записываете его в бланк. Примеры реальных формулировок из банка ФИПИ:

«Найдите значение выражения $(\sqrt{11}+3)^2 - 6\sqrt{11}$ ».
«Найдите значение выражения $\dfrac{9^{-6}\cdot 9^{15}}{9^{7}}$ ».
«Найдите значение выражения $\sqrt{a^{8}\cdot(-a)^{4}}$ при $a=2$ ».

Важно про формат ответа

Многие сайты до сих пор пишут, что задание 8 — это «выбор одного из 4 вариантов». Это устаревший формат: в действующей демоверсии 2026 года задание 8 требует краткий числовой ответ в бланк. Правда, в открытом банке ФИПИ встречаются и отдельные карточки с выбором варианта (например, «какое из чисел принадлежит промежутку») — в таком случае в ответ записывают цифру номера варианта. Но в реальном КИМ по демоверсии — это именно «найдите значение выражения».

Теория: всё, что нужно для задания 8

Всё задание 8 держится на четырёх группах правил: свойства степеней, свойства корня, формулы сокращённого умножения и одно золотое правило подстановки. Разберём их по порядку.

Свойства степени с целым показателем

Для одинаковых оснований показатели складываются, вычитаются или перемножаются:

a^m\cdot a^n = a^{m+n}\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\qquad (a^m)^n=a^{mn}

Степень произведения, отрицательный показатель и нулевой показатель:

(ab)^n=a^n b^n\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\qquad a^{0}=1\ (a\neq 0)

Ключевой момент — отрицательный показатель: он не делает число отрицательным, а «переворачивает» его в дробь. Например, $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$ , а вовсе не $-8$ .

Свойства арифметического квадратного корня

Корень «раскладывается» по множителям и делится на дроби:

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Квадрат корня и корень из квадрата — не одно и то же:

(\sqrt{a})^2=a\ (a\ge 0)\qquad \sqrt{a^2}=|a|

Вынесение множителя из-под корня. Разложите подкоренное число на точный квадрат и остаток: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ .
Оценка корня. Зажмите число между двумя соседними точными квадратами: раз $25<28<36$ , то $5<\sqrt{28}<6$ .

Формулы сокращённого умножения и упрощение

Две формулы, которые встречаются в задании 8 чаще всего:

(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)

В выражениях с корнями формула квадрата суммы особенно удобна: при возведении в квадрат корни «схлопываются» ( $(\sqrt{11})^2=11$ ), а неудобное слагаемое с корнем часто сокращается с другим слагаемым условия — именно так устроен первый пример ниже. Разность квадратов помогает избавиться от корней в знаменателе и раскладывать выражения на множители.

Подстановка значения переменной

Золотое правило задания 8: сначала упростить, потом подставлять. Если выражение содержит переменную и вам дано её значение, не спешите подставлять число сразу — сверните степени и корни, приведите подобные, и только в конце поставьте число.

Например, в $\sqrt{a^{8}\cdot(-a)^{4}}$ выгоднее сначала свернуть выражение до $a^6$ , а уже потом подставить $a=2$ — иначе придётся считать $2^{8}$ и $(-2)^{4}$ «в лоб» и рисковать арифметической ошибкой.

Алгоритм решения задания 8

Определите тип выражения. Что перед вами — степени, корни, формула сокращённого умножения или выражение с переменной? От этого зависит, какое правило применять первым.
Раскройте скобки и сверните степени. Примените свойства степеней и формулы сокращённого умножения, приведите всё к одному основанию или к одному корню.
Приведите подобные слагаемые. Слагаемые с корнями часто взаимно уничтожаются — следите за этим, это и есть «замысел» задачи.
Подставьте значение переменной (если оно дано). Только после упрощения — так меньше вычислений и меньше шансов ошибиться.
Проверьте здравым смыслом и запишите ответ. Ответ — краткое число. Убедитесь, что не потеряли минус и не перепутали $a^{-n}$ с $-a^{n}$ .

Доведите свойства степеней до автоматизма

Прорешайте 15–20 заданий 8 подряд — и свойства степеней, корней и формулы сокращённого умножения перестанут вызывать заминку. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Формула сокращённого умножения с корнем

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $(\sqrt{11}+3)^2 - 6\sqrt{11}$ .

Решение:

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , где $a=\sqrt{11}$ и $b=3$ :

(\sqrt{11}+3)^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\cdot\sqrt{11}\cdot 3 + 3^2 = 11 + 6\sqrt{11} + 9.

Здесь мы использовали $(\sqrt{11})^2=11$ . Подставим результат в исходное выражение:

\bigl(11 + 6\sqrt{11} + 9\bigr) - 6\sqrt{11} = 11 + 9 + \bigl(6\sqrt{11} - 6\sqrt{11}\bigr).

Слагаемые с корнем взаимно уничтожаются — это и была «изюминка» задачи. Остаётся $11 + 9 = 20$ .

Ответ: 20. Проверка здравым смыслом: неудобный корень $\sqrt{11}$ исчез, ответ получился целым — значит, выражение задумывалось именно так.

Пример 2. Свойства степеней с отрицательным показателем

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $\dfrac{9^{-6}\cdot 9^{15}}{9^{7}}$ .

Решение:

Основание везде одно и то же — $9$ , поэтому работаем только с показателями. Сначала перемножим степени в числителе, складывая показатели ( $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ ):

9^{-6}\cdot 9^{15} = 9^{-6+15} = 9^{9}.

Теперь разделим на $9^{7}$ , вычитая показатели ( $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ):

\frac{9^{9}}{9^{7}} = 9^{9-7} = 9^{2} = 81.

Ответ: 81. Обратите внимание: отрицательный показатель $-6$ спокойно участвует в сложении $-6+15=9$ , никакого «минуса в ответе» из-за него не появляется.

Пример 3. Степень под корнем и подстановка значения

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $\sqrt{a^{8}\cdot(-a)^{4}}$ при $a=2$ .

Решение:

Сначала упрощаем выражение под корнем, не подставляя число. Любое число в чётной степени неотрицательно, поэтому минус «уходит»:

(-a)^4 = a^4,\qquad \text{значит}\quad a^{8}\cdot(-a)^{4}=a^{8}\cdot a^{4}=a^{12}.

Извлекаем корень из чётной степени по правилу $\sqrt{a^{2n}}=|a^{n}|$ :

\sqrt{a^{12}} = |a^{6}| = a^{6}\quad(\text{при } a=2\ \text{модуль не важен}).

И только теперь подставляем $a=2$ :

2^{6} = 64.

Ответ: 64. Проверка здравым смыслом: мы избежали громоздких $2^{8}=256$ и $(-2)^4=16$ , свернув всё заранее — это и есть выигрыш от правила «сначала упростить».

Пример 4. Подтип с выбором варианта (оценка корня)

В открытом банке ФИПИ у задания 8 встречается и подтип с выбором варианта — тогда в ответ идёт цифра номера. Разберём такой быстро:

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Какое из чисел $\sqrt{6},\ \sqrt{7},\ \sqrt{35},\ \sqrt{42}$ принадлежит промежутку $[6;\,7]$ ? (1) $\sqrt{6}$ , (2) $\sqrt{7}$ , (3) $\sqrt{35}$ , (4) $\sqrt{42}$ .

Решение:

Переведём границы промежутка в корни: $6=\sqrt{36}$ и $7=\sqrt{49}$ . Значит, нужное число под корнем должно лежать между $36$ и $49$ . Единственное подходящее подкоренное число — $42$ , потому что $36\le 42\le 49$ .

Ответ: 4 (число $\sqrt{42}$ ). Здесь в бланк записывают именно номер варианта — 4, а не само число.

Типичные ошибки и ловушки

Путают отрицательный показатель со знаком минус

Ошибочно считают $a^{-n}=-a^{n}$ . На самом деле $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ : показатель $-n$ означает дробь, а не отрицательное число. Так, $2^{-3}=\frac{1}{8}$ , а не $-8$ .

Забывают модуль в $\sqrt{a^2}=|a|$

Пишут $\sqrt{a^2}=a$ даже при отрицательном $a$ . Верно — $\sqrt{a^2}=|a|$ . В примере $\sqrt{(-a)^4\cdot a^8}$ чётная степень как раз убирает знак: результат неотрицателен независимо от знака $a$ .

Ошибаются в раскрытии формул сокращённого умножения

Теряют удвоенное произведение: $(a+b)^2\neq a^2+b^2$ . Правильно — $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . Именно среднее слагаемое $2ab$ обычно и сокращается с другой частью выражения.

«Складывают» корни

Ошибочно пишут $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ . Это неверно: корни можно перемножать и делить ( $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ), но складывать под один корень — нельзя.

Подставляют число до упрощения

Если выражение с переменной, а вам дано её значение, не спешите подставлять его сразу — упростите степени и корни, а число поставьте в конце. Это резко сокращает вычисления и уменьшает риск арифметической ошибки.

Связь с другими заданиями

Навыки задания 8 работают на несколько соседних заданий части 1. Задание 6 (числа и вычисления) — та же аккуратность в арифметике дробей и десятичных. Задание 7 (координатная прямая) прямо использует оценку корней соседними точными квадратами — как в примере 4. А умение уверенно преобразовывать выражения пригодится в задании 12 (расчёты по формулам, где нужно подставлять значения) и задании 13 (неравенства). Отдельных статей по заданиям 12 и 13 у нас пока нет, но потренировать связанные задания 6 и 7 можно уже сейчас:

Задание 6: числа и вычисления Задание 7: координатная прямая Задание 1: практический блок 1–5 Все задания ОГЭ по математике

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — учим правила по группам

Разберите по одной группе правил в день: свойства степеней, свойства корня, формулы сокращённого умножения, подстановка значения. Выпишите все формулы на одну карточку и держите её перед глазами. Решайте по 5–7 заданий 8 в день, каждый раз проговаривая, какое свойство вы применяете. Особое внимание уделите отрицательному показателю и правилу $\sqrt{a^2}=|a|$ — на них чаще всего спотыкаются.

Неделя 2 — на скорость и без ошибок

Решайте задания 8 вперемешку, отводя на каждое не больше 2–3 минут, и обязательно проверяйте себя: не потеряли ли минус, не перепутали ли $a^{-n}$ с $-a^{n}$ , свернули ли выражение до подстановки. Параллельно прорешивайте связанные задания 6 и 7, чтобы навык преобразований закрепился в разных контекстах.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 8 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Преобразование числовых и алгебраических выражений: свойства степеней с целым показателем, свойства арифметического квадратного корня, формулы сокращённого умножения и подстановку значения переменной. По демоверсии 2026 года формулировка чаще всего — «Найдите значение выражения».

В действующей демоверсии это краткий числовой ответ, который записывают в бланк, а не выбор из вариантов. Формат «выбор из 4 вариантов», который до сих пор встречается на многих сайтах, устарел. Правда, в открытом банке ФИПИ попадаются отдельные карточки с выбором варианта (например, «какое из чисел принадлежит промежутку») — тогда в ответ записывают цифру номера варианта.

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Все задания части 1 ОГЭ по математике (№1–19) оцениваются по 1 баллу.

Отрицательный показатель не делает число отрицательным, а превращает его в дробь: a в степени −n равно 1/(a в степени n). Например, 2 в степени −3 равно 1/8, а не −8. А −a в степени n — это уже число со знаком минус. Путаница между этими записями — одна из самых частых ошибок в задании 8.

Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен. Поэтому корень из a² равен |a|: если a отрицательное, корень всё равно даст положительное число. При чётной степени под корнем (например, (−a)⁴) знак исчезает автоматически, и результат неотрицателен независимо от знака переменной.

Сначала упростите выражение (сверните степени, извлеките корень, приведите подобные), а число подставляйте в самом конце. Так вычислений меньше и меньше шансов ошибиться. Например, выражение с корнем из a⁸·(−a)⁴ выгоднее сначала свернуть до a⁶, а уже потом подставить a = 2 и получить 64.

Официального норматива на отдельное задание нет: на весь экзамен даётся 235 минут на 25 заданий. Разумный ориентир для задания 8 — 2–5 минут. Если выражение упрощается «красиво» (корни или лишние слагаемые сокращаются), обычно хватает и пары минут.

По рекомендуемой шкале 2026 года максимум — 31 первичный балл: «3» — 8–14 баллов (при этом не менее 2 баллов за геометрию), «4» — 15–21, «5» — 22–31. Шкала рекомендательная, регионы могут её уточнять, а проекты 2027 года пока не опубликованы.

Готовы забирать балл за задание 8 уверенно?

Задание 8 — из тех, что при небольшой тренировке решаются почти автоматически: достаточно выучить свойства степеней и корней и не путаться в отрицательном показателе. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и доведёте навык преобразований до автоматизма.

Тренировать задание 8 Разбор задания 7 Все тесты и тренажёры