Задание 23 ОГЭ по математике: геометрическая задача на вычисление

Задание 23 — это первое из трёх геометрических заданий части 2 ОГЭ по математике и, по формулировке ФИПИ, самое доступное из них. Здесь нужно найти геометрическую величину — длину, высоту, площадь или угол — и записать полное решение с обоснованием в бланк ответов № 2. За верное решение дают 2 первичных балла; уровень — повышенный. Задания 23–25 считаются в геометрический минимум: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать хотя бы 2 балла за геометрию (в части 1 это №15–19, в части 2 — №23–25). Поэтому задание 23 — это реальный шанс добрать баллы на «4» и «5» и подстраховать себя по геометрическому порогу. Ниже — какие темы встречаются, как оформить решение на 2 балла по критериям ФИПИ, пошаговый алгоритм, три разбора реальных заданий из открытого банка и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 23 ОГЭ онлайн — наш тренажёр принимает развёрнутое решение текстом и проверяет его ИИ по критериям ФИПИ.

Что проверяет задание 23

Официальная тема задания 23 по методическим рекомендациям ФИПИ — «геометрическая задача на вычисление». Проверяется вычислительная геометрия: умение найти геометрическую величину и обосновать каждый нетривиальный шаг. По формулировке ФИПИ, среди заданий части 2 «задание 20 (алгебраическое) и задание 23 (геометрическое) — наиболее простые»; они направлены на проверку умения «решить несложную задачу на вычисление геометрической величины». Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

видеть в фигуре подобные треугольники и составлять пропорцию по сходственным сторонам;
работать с прямоугольным треугольником: теорема Пифагора, свойства высоты из прямого угла;
использовать свойства трапеции, параллелограмма, ромба (параллельность оснований, биссектрисы, средняя линия);
применять свойства окружности: вписанный угол, диаметр, хорда, касательная;
записать связную цепочку рассуждений с ссылками на теоремы и довести её до числового ответа.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена и тематика заданий не менялись с 2024 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года и методические рекомендации для предметных комиссий.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (2 / 1 / 0)
Уровень сложности	Повышенный (самое простое из геометрии части 2)
Формат ответа	Развёрнутое решение с обоснованием в бланк № 2
Раздел	Геометрия (планиметрия), часть 2
Рекомендуемое время	≈ 12–18 минут (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	15, 17 (геометрия части 1), 24 и 25 (геометрия части 2)

Важный момент про геометрический порог: по рекомендуемой шкале максимум за весь экзамен — 31 первичный балл («2» — 0–7, «3» — 8–14, «4» — 15–21, «5» — 22–31). Чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать минимум 2 балла за геометрию. Эти баллы можно взять и в части 1 (задания 15–19), но если с ними не сложилось — задание 23 закрывает порог целиком за раз.

Пишите решение — ИИ проверит по критериям ФИПИ

На Repet.ai задания 23 из открытого банка ФИПИ. Вводите развёрнутое решение текстом — искусственный интеллект оценивает его на 0/1/2 балла и показывает, где потеряли балл. Бесплатно.

Решать задание 23

Как выглядит формулировка

Формулировка задания 23 — это короткое условие про конкретную фигуру и просьба найти какую-то величину. Чертежа в условии обычно нет: его вы строите сами. Примеры реальных формулировок из открытого банка:

«Точка $H$ — основание высоты $BH$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ . Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ . Найдите $PK$ , если $BH = 13$ ».
«Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $AB$ , если $AF = 32$ , $BF = 24$ ».
«Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 21$ и $CH = 8$ . Найдите высоту ромба».

Обратите внимание: во всех формулировках нужно не просто назвать число, а объяснить, почему оно получается. Ответ «13» без рассуждений — это 0 баллов. Дальше разберём, какая именно теория здесь работает и как оформить решение, чтобы получить полные 2 балла.

Теория: что нужно знать для задания 23

Круг тем ограничен: почти всё сводится к подобию треугольников, прямоугольному треугольнику и свойствам четырёхугольников с окружностью. Разберём главные инструменты.

Подобие треугольников

Самый частый приём: найти в фигуре два подобных треугольника и составить пропорцию по сходственным сторонам. Треугольники подобны, если у них равны два угла (признак по двум углам) — этого достаточно, отдельно доказывать ничего не нужно.

Подобие часто «включает» параллельная прямая: если прямая параллельна стороне треугольника, она отсекает треугольник, подобный исходному. Из подобия сходственные стороны пропорциональны:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

где $k$ — коэффициент подобия. Одна такая пропорция обычно и даёт искомую длину.

Прямоугольный треугольник и высота из прямого угла

Теорема Пифагора — базовый инструмент: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,

c^2 = a^2 + b^2.

Отдельно стоит запомнить свойства высоты $h$ , опущенной из прямого угла на гипотенузу. Она делит гипотенузу на проекции $a_c$ и $b_c$ и даёт пропорциональные отрезки:

h^2 = a_c \cdot b_c, \qquad a^2 = c \cdot a_c, \qquad b^2 = c \cdot b_c.

Отсюда, например, катет — это среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащей к нему проекцией.

Трапеция, параллелограмм, ромб

Параллельность оснований. В трапеции основания параллельны, а углы при боковой стороне — внутренние односторонние, их сумма равна $180^\circ$ . Отсюда часто получается прямой угол между биссектрисами.
Биссектриса угла делит его пополам; вместе с накрест лежащими или односторонними углами это даёт равнобедренные или прямоугольные треугольники.
Высота ромба или параллелограмма обычно находится через прямоугольный треугольник и теорему Пифагора: все стороны ромба равны, что задаёт недостающие отрезки.
Средняя линия и параллельные прямые внутри трапеции связывают отрезки через подобие и пропорции.

На окружности пригодятся: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ ; равные хорды стягивают равные дуги; касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

Как оформить решение на 2 балла

Хорошая новость: ФИПИ не оценивает оформление — расположение текста, наличие «шапки» или рамочек. Эксперт смотрит только на математическую грамотность и полноту решения. Более того, разрешено «ограничиться краткими пояснениями без подробного описания известных алгоритмов и ссылок на общеизвестные факты» и использовать без доказательства любые факты из школьных учебников (например, признак подобия по двум углам). Так что бюрократия не нужна — нужна связная логика.

Что обязательно должно быть:

Чертёж, соответствующий решению. Он не обязателен формально, но резко снижает риск ошибки. Важно: рисунок должен согласоваться с условием и с вашими выкладками — несоответствие чертежа решению трактуется как ошибка.
Связная цепочка рассуждений. Каждый нетривиальный шаг опирается на теорему или свойство: «по теореме Пифагора…», «из подобия…», «угол опирается на диаметр, значит…».
Доведение до числа. Решение должно заканчиваться конкретным ответом. Решение без численного ответа — это только 1 балл.

Шкала простая: всё верно и доведено до ответа — 2 балла; непринципиальная вычислительная ошибка или отсутствие обоснования вспомогательного факта — 1 балл; существенная математическая ошибка или только верный ответ без решения — 0 баллов.

Алгоритм решения задания 23

Сделайте аккуратный чертёж. Отметьте на нём все данные из условия (длины, углы, точки). Чертёж помогает увидеть подобные треугольники и вспомогательные линии.
Определите тип задачи. Прямоугольный треугольник? Трапеция с параллельными? Окружность с диаметром? От этого зависит главный инструмент — Пифагор, подобие или свойство угла.
Найдите ключевое соотношение. Проведите вспомогательную линию (высоту, диагональ), выделите подобные треугольники или прямоугольный треугольник с искомой стороной.
Составьте уравнение или пропорцию и обоснуйте каждый шаг ссылкой на теорему — коротко, но по существу.
Доведите до числа и проверьте. Подставьте данные, вычислите ответ и прикиньте, разумен ли он геометрически (длина положительна, сторона не длиннее суммы других и т. п.).

Геометрию решают руками

Прорешайте 10–15 заданий 23 подряд — и вы начнёте узнавать типовые конфигурации с первого взгляда. На Repet.ai каждое задание из банка ФИПИ идёт с проверкой развёрнутого решения.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Высота из прямого угла и окружность (прямоугольник)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Точка $H$ является основанием высоты $BH$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ . Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK$ , если $BH = 13$ .

Прямоугольный треугольник ABC с высотой BH из прямого угла B; окружность с диаметром BH пересекает катеты в точках P и K; PBKH — прямоугольник с диагоналями PK и BH — PBKH — прямоугольник: диагональ PK равна диагонали BH

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$ и покажем, что это прямоугольник — тогда его диагональ $PK$ равна диагонали $BH$ .

Угол при вершине $B$ . Точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ прямого угла, поэтому $\angle PBK = \angle ABC = 90^\circ$ .

Углы при вершинах $P$ и $K$ . Отрезок $BH$ — диаметр окружности. Углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$ вписаны в неё и опираются на этот диаметр, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит,

\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ.

Вид четырёхугольника. В $PBKH$ три угла прямые, поэтому и четвёртый угол при $H$ равен $360^\circ - 3\cdot 90^\circ = 90^\circ$ . Четырёхугольник со всеми прямыми углами — прямоугольник.

Диагонали. В прямоугольнике диагонали равны. Отрезки $PK$ и $BH$ — диагонали прямоугольника $PBKH$ , поэтому

PK = BH = 13.

Ответ: 13. Проверка здравым смыслом: $PK$ — диагональ прямоугольника, значит, она в точности равна второй диагонали $BH$ , что и получилось; результат не зависит от размеров самого треугольника.

Пример 2. Биссектрисы трапеции и теорема Пифагора

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $AB$ , если $AF = 32$ , $BF = 24$ .

Трапеция ABCD; биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB пересекаются в точке F под прямым углом, AF = 32, BF = 24 — Биссектрисы углов A и B дают прямой угол в точке F; AB — гипотенуза

Решение:

Сумма углов при боковой стороне. В трапеции $ABCD$ боковая сторона — $AB$ , значит, основания $AD$ и $BC$ параллельны. Углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей $AB$ , поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

Углы треугольника $ABF$ . Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы, $\angle FAB = \tfrac12\angle A$ и $\angle FBA = \tfrac12\angle B$ . Их сумма:

\angle FAB + \angle FBA = \tfrac12(\angle A + \angle B) = \tfrac12\cdot 180^\circ = 90^\circ.

Прямой угол при $F$ . По теореме о сумме углов треугольника $\angle AFB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . Значит, треугольник $ABF$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза.

Теорема Пифагора. Катеты равны $AF = 32$ и $BF = 24$ , поэтому

AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600, \qquad AB = \sqrt{1600} = 40.

Ответ: 40. Проверка здравым смыслом: $AB$ — гипотенуза, поэтому она должна быть больше каждого катета ( $40 > 32 > 24$ ) — так и есть.

Пример 3. Прямая, параллельная основаниям трапеции (подобие)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$ , пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ , если $AD = 42$ , $BC = 14$ , $CF : DF = 4 : 3$ .

Трапеция ABCD с основаниями AD = 42 и BC = 14; прямая EF параллельна основаниям, диагональ AC делит EF точкой O на отрезки EO и OF — Диагональ AC делит EF на EO и OF — каждый находим из подобия

Решение:

Вспомогательная линия. Проведём диагональ $AC$ ; пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $O$ . Тогда $EF = EO + OF$ , и каждое слагаемое найдём из подобия.

Отрезок $OF$ (в треугольнике $ACD$ ). Прямая $OF$ параллельна стороне $AD$ , поэтому треугольник $COF$ подобен треугольнику $CAD$ (по двум углам). Так как $CF : DF = 4 : 3$ , то $CD = 4 + 3 = 7$ частей и $\tfrac{CF}{CD} = \tfrac47$ . Из подобия:

OF = AD\cdot \frac{CF}{CD} = 42\cdot\frac{4}{7} = 24.

Отрезок $EO$ (в треугольнике $ABC$ ). Прямая $EO$ параллельна стороне $BC$ , поэтому $\triangle AEO \sim \triangle ABC$ . Точка $O$ делит диагональ $AC$ в том же отношении, что $F$ делит $CD$ , поэтому $\tfrac{AO}{AC} = \tfrac{DF}{DC} = \tfrac37$ , и

EO = BC\cdot \frac{AO}{AC} = 14\cdot\frac{3}{7} = 6.

Длина отрезка. $EF = EO + OF = 6 + 24 = 30$ .

Ответ: 30. Проверка здравым смыслом: $EF$ лежит между основаниями $BC = 14$ и $AD = 42$ , и полученное $30$ действительно попадает в этот промежуток.

Типичные ошибки и потеря баллов

Только ответ без решения

Записанный верный ответ без обоснований — это 0 баллов. В части 2 оценивается именно ход решения; число без рассуждений эксперт не засчитывает.

Чертёж не соответствует решению

Если на рисунке сторона неверно разбита на отрезки или фигура противоречит условию, это трактуется как ошибка — вплоть до 0 баллов. Чертёж и выкладки должны согласовываться друг с другом.

Изменение условия задачи

Переставили порядок отрезков, перепутали, какой катет чему равен — и вы решаете уже другую задачу. Даже верно проведённое решение «не той» задачи оценивается в 0 баллов.

Существенная ошибка в теореме

Неверно записанная теорема Пифагора или ошибочный признак подобия — существенная ошибка: даже при в целом правильной идее это 0 баллов. Проверяйте формулы, а не только арифметику.

Решение не доведено до числа

Верный ход, но остановились на пропорции и не вычислили ответ — это 1 балл вместо 2. Ту же 1 дают за непринципиальную вычислительную ошибку (например, в разности под корнем) при правильной логике. Всегда доводите до конкретного числа и перепроверяйте вычисления.

Связь с другими заданиями

Задание 23 — «входное» и самое доступное из трёх геометрических заданий части 2. Оно опирается на ту же планиметрию, что и задания 15–19 части 1 (треугольники, четырёхугольники, окружности, площади), но требует не короткого ответа, а полного обоснования. Логичный маршрут: сначала уверенно решать геометрию части 1, затем переходить к заданию 23, а после него — к более сложным заданиям 24 (доказательство) и 25 (высокий уровень).

Задание 15 (геометрия, часть 1)Задание 17 (геометрия, часть 1)Задание 24 (доказательство)Задание 25 (высокий уровень)Все задания ОГЭ по математике

План подготовки на 3 недели

Неделя 1 — инструменты

Повторите теорему Пифагора, признаки и свойства подобия треугольников, свойства высоты из прямого угла. Прорешайте по 3–4 задания на каждый инструмент отдельно, каждый раз записывая полное обоснование — как в бланк № 2.

Неделя 2 — четырёхугольники и окружность

Разберите трапецию, параллелограмм, ромб и задачи с окружностью (вписанный угол, диаметр, касательная). Учитесь проводить вспомогательные линии — высоту, диагональ, параллельную прямую — и видеть в них подобие или прямоугольный треугольник.

Неделя 3 — на оценку эксперта

Решайте задания 23 вперемешку и оценивайте свои решения по критериям 2/1/0: доведено ли до числа, обоснован ли каждый шаг, согласуется ли чертёж с выкладками. Удобнее всего это делать в тренажёре, где ИИ сразу указывает, где вы теряете балл.

Закройте геометрический порог

Задание 23 может закрыть минимум по геометрии целиком. На Repet.ai решайте реальные задания 23 из банка ФИПИ, а ИИ проверит развёрнутое решение по критериям и подскажет, что улучшить.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Максимум 2 первичных балла. 2 балла — если ход решения верный, все шаги выполнены и получен верный ответ. 1 балл — если решение в целом верное, но содержит несущественный недочёт или вычислительную ошибку либо не доведено до числового ответа. 0 баллов — если есть существенная математическая ошибка или приведён только ответ без решения.

Формального требования «сделать чертёж» в критериях нет, и ФИПИ не оценивает оформление. Но чертёж резко снижает риск ошибки и помогает увидеть решение, поэтому его стоит делать всегда. Важно: рисунок должен соответствовать условию и вашему решению — несоответствие чертежа решению трактуется как ошибка.

ФИПИ разрешает ограничиться краткими пояснениями без подробного описания известных алгоритмов и ссылок на общеизвестные факты, а также использовать без доказательства утверждения из любого школьного учебника (например, признак подобия по двум углам). Бюрократия не нужна — нужна связная логика: каждый нетривиальный шаг опирается на теорему, и решение доведено до числа.

Чтобы получить отметку выше «2», по рекомендуемой шкале нужно набрать не менее 2 баллов за геометрические задания. Это задания 15–19 в части 1 и задания 23–25 в части 2. Если геометрию части 1 взять не удалось, полное решение задания 23 закрывает этот порог целиком за один раз.

Подобие треугольников (пропорция по сходственным сторонам), прямоугольный треугольник (теорема Пифагора и свойства высоты из прямого угла), трапеция, параллелограмм и ромб (параллельность оснований, биссектрисы, средняя линия), а также окружность — вписанный угол, диаметр, хорда, касательная.

Наоборот, по формулировке ФИПИ задание 23 — самое простое из трёх геометрических заданий части 2. Задание 24 — геометрическая задача на доказательство (уровень выше), задание 25 — задача высокого уровня сложности. Поэтому после освоения геометрии части 1 логично начинать вторую часть именно с задания 23.

Да. На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике загружены задания 23 из открытого банка ФИПИ. Вы вводите развёрнутое решение текстом, а искусственный интеллект оценивает его по критериям ФИПИ на 0/1/2 балла и показывает, где потеряли балл — это ближе к реальной проверке эксперта, чем простое сравнение с ответом.

Готовы взять первые баллы части 2?

Задание 23 — самая доступная геометрия части 2 и надёжный способ закрыть геометрический порог. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ, а ИИ проверяет ваше развёрнутое решение по критериям. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и научитесь стабильно получать 2 балла.

Тренировать задание 23 Дальше: задание 24 Все задания ОГЭ по математике