Задание 25 ОГЭ по математике: геометрическая задача высокого уровня

Задание 25 — последняя и самая трудная задача ОГЭ по математике: геометрическая задача высокого уровня сложности с развёрнутым ответом. Во всей работе высокий уровень имеют только два задания — № 22 (алгебра) и № 25 (геометрия). Решение записывается в бланк № 2 полностью, с обоснованием каждого шага, и оценивается в 2 первичных балла. Это «задача на пятёрку»: по спецификации ФИПИ планируемый процент её выполнения — всего 3–15 %, самый низкий в варианте. Браться за неё имеет смысл, когда сделано всё остальное. В статье — честная стратегия и тайм-менеджмент, главный приём (вспомогательные построения), связка «подобие + теорема Пифагора», свойства биссектрис и медиан, правила оформления решения на 2 балла по критериям ФИПИ, два подробных разбора реальных заданий из банка и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 25 ОГЭ онлайн — наш тренажёр принимает развёрнутое решение текстом и проверяет его по критериям ФИПИ.

Что проверяет задание 25

По формулировке методических рекомендаций ФИПИ задание 25 — это «геометрическая задача высокого уровня сложности». Оно проверяет свободное владение планиметрией и высокий уровень математической культуры: умение выстроить и обосновать многошаговое рассуждение, соединить факты из разных тем, увидеть скрытые соотношения. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

делать аккуратный чертёж по условию и достраивать на нём вспомогательные линии (перпендикуляры, радиусы, параллельные, отрезки, окружности);
находить подобные треугольники и применять подобие в связке с теоремой Пифагора;
уверенно пользоваться свойствами высот, медиан, биссектрис; теоремами синусов и косинусов;
работать со свойствами окружности: вписанные и центральные углы, касательные, хорды, угол на диаметр;
обосновывать каждый шаг ссылкой на теорему или свойство и доводить решение до ответа.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена и тематика заданий не менялись с 2024 года, поэтому всё ниже опирается на действующие демоверсию и спецификацию ФИПИ.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (возможен 1 балл за верный ход)
Уровень сложности	Высокий (один из двух в работе)
Формат ответа	Развёрнутое решение с обоснованиями в бланке № 2
Раздел	Геометрия (планиметрия), часть 2
Планируемая решаемость (ФИПИ)	3–15 % — самая низкая в варианте
Связанные задания	16 (окружность), 23 (геометрия на вычисление), 24 (на доказательство)

Важно про геометрический минимум: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию. В этот минимум идут задания части 1 (№ 15–19) и части 2 (№ 23–25). То есть задание 25 «работает» на этот порог наравне с более простыми заданиями 23 и 24 — и часто выгоднее закрыть минимум именно ими.

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 25 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ. Пишите развёрнутое решение текстом — ИИ проверит его по критериям ФИПИ и поставит 0, 1 или 2 балла с разбором. Бесплатно.

Решать задание 25

Как выглядит формулировка

Условие короткое, но за ним — многошаговое рассуждение. Сюжеты крутятся вокруг треугольников (высоты, биссектрисы, медианы, подобие), четырёхугольников (параллелограммы, трапеции, вписанные) и окружностей (касательные, хорды, вписанные углы). Примеры реальных формулировок:

«В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$ , в отношении $25:24$ , считая от точки $B$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ , если $BC = 14$ ». (Это официальный пример задания 25 из методических рекомендаций ФИПИ; ответ — $25$ .)
«На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$ . Найдите $AH$ , где $H$ — точка пересечения высот».
«В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину. Найдите стороны треугольника».

Обратите внимание: почти в каждой задаче спрятан один ключевой ход — увидеть подобие, достроить радиус или параллельную, заметить, что биссектриса совпала с высотой. Найдёте его — задача «разваливается» на короткую цепочку. Именно поиску этого хода и посвящена бо́льшая часть разбора ниже.

Ключевые идеи и приёмы

Универсального рецепта у задания 25 нет, но есть набор приёмов, которые решают подавляющее большинство задач. Разберём главные.

Стратегия и тайм-менеджмент

Экзамен длится 235 минут (3 ч 55 мин). Задание 25 — самое дорогое по времени и самое трудное, поэтому честная стратегия такая:

Беритесь за него в последнюю очередь. Сначала уверенно закройте часть 1 (№ 1–19) и более простые задания части 2 — № 20, 23, при силах № 21 и 24. Только потом — № 25.
Геометрический минимум важнее «пятёрки». Чтобы получить оценку выше «2», нужно ≥ 2 баллов за геометрию. Их проще и надёжнее набрать на № 23 и № 24, чем на № 25.
Частичный балл реален. Даже если не довели до числа, за верный по логике ход с обоснованиями ставят 1 балл. Поэтому записывайте всё, что удалось доказать, — это не пустая трата времени.
Не «зависайте»: если за 5–7 минут не видите ключевого хода — отметьте, что успели, и вернитесь, оставив время на проверку остального.

Вспомогательные построения — главный приём

Почти во всех задачах 25 решение начинается с дополнительной линии или точки, которых нет в условии. Именно они «проявляют» скрытые углы, отрезки и подобные треугольники. Что чаще всего достраивают:

Перпендикуляр или высоту — чтобы получить прямоугольный треугольник и применить Пифагора или синус-косинус.
Радиус в точку касания — он перпендикулярен касательной и почти всегда даёт прямой угол.
Параллельную прямую (часто через середину стороны) — она создаёт среднюю линию или подобные треугольники.
Достроить фигуру до знакомой: полуокружность — до полной окружности, треугольник — до параллелограмма, отрезок — до диаметра.
Отрезок, соединяющий центры двух окружностей или центр с вершиной.

Оба разбора ниже держатся именно на таком построении — следите за тем, какая линия «открывает» задачу.

Подобие в связке с теоремой Пифагора

Самая частая рабочая пара инструментов. Подобие даёт пропорции сторон, Пифагор — числа.

Два треугольника подобны, если у них равны два угла (в том числе: общий угол + по прямому углу). У подобных треугольников стороны пропорциональны: $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ .
Из пропорции удобно получать «произведение отрезков», например $AH\cdot AD = AK\cdot AC$ — как в примере 1 ниже.
Теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике: $c^2 = a^2 + b^2$ . Часто применяется после того, как построен перпендикуляр.
Полезный факт про окружность: угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ . Он превращает точку на окружности в вершину прямого угла.

Свойства биссектрис и медиан

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$ для биссектрисы $BE$ .
Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой (или с медианой), треугольник равнобедренный. Это мощный признак: заметив перпендикулярность биссектрисы, вы сразу получаете равные стороны.
Медиана делит сторону пополам; в равнобедренном треугольнике медиана к основанию — это и высота, и биссектриса.
Средняя линия (через середины двух сторон) параллельна третьей стороне и равна её половине. Её часто «создают» вспомогательным построением.

Как оформить решение на 2 балла

Эксперт оценивает математическую грамотность и полноту, а не «красоту» записи. По критериям ФИПИ:

2 балла — ход решения верный, получен верный ответ; из записи понятно рассуждение. Описки и неточности в обозначениях, не влияющие на ход и ответ, не снижают балл; нерациональное или избыточное решение тоже оценивается в 2 балла.
1 балл — решение в целом верное, но не доведено до числа, либо есть непринципиальная вычислительная ошибка, либо несущественный недостаток (например, не обосновали вспомогательный факт).
0 баллов — приведён только ответ без решения; фрагментарные записи; существенная математическая ошибка; ошибка или описка, изменившая условие задачи.

Что обязательно написать:

явно ввести обозначения и сделать чертёж (можно ссылаться на него);
обосновать каждый шаг — назвать теорему или свойство, на которое опираетесь;
довести вычисления до числа и записать «Ответ: …».

Хорошая новость: можно без доказательства пользоваться любыми фактами из школьных учебников (признаки подобия, свойство биссектрисы и т. д.) — это не считается недостатком.

Алгоритм решения задания 25

Сделайте крупный аккуратный чертёж строго по условию. Кривой рисунок (трапеция вместо параллелограмма) уводит в сторону.
Отметьте на чертеже всё данное и то, что нужно найти. Подпишите известные длины и углы.
Ищите ключевое построение. Где напрашивается перпендикуляр, радиус, параллельная, достройка до окружности или параллелограмма? Что станет прямым углом, средней линией, подобием?
Выпишите подобия и прямоугольные треугольники. Из подобия — пропорции, из Пифагора и тригонометрии — числа.
Обоснуйте каждый переход. Рядом с каждым равенством — ссылка на теорему или свойство.
Доведите до числа и проверьте здравым смыслом. Сторона положительна, катет меньше гипотенузы, выполняется неравенство треугольника, синус ≤ 1.

Проверьте своё оформление по критериям ФИПИ

На Repet.ai можно решать задания 25 и присылать развёрнутое решение текстом. ИИ оценит его как эксперт — 0, 1 или 2 балла — и подскажет, где не хватило обоснования.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Разберём две реальные задачи так, как их нужно оформить в бланке № 2: с чертежом, вспомогательным построением и обоснованием каждого шага.

Пример 1. Полуокружность на стороне и точка пересечения высот

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$ , $AD = 9$ , $MD = 6$ , $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$ . Найдите $AH$ .

Остроугольный треугольник ABC, полуокружность на стороне BC как на диаметре, высота AD, точка M на полуокружности, ортоцентр H — Пример 1: полуокружность на диаметре BC пересекает высоту AD в точке M; H — точка пересечения высот. Достроив полуокружность до полной окружности, находим AH.

Решение:

Вспомогательное построение. Достроим полуокружность до полной окружности с диаметром $BC$ . Высота $AD$ перпендикулярна $BC$ , а $BC$ — диаметр, поэтому прямая $AD$ пересекает окружность в двух точках: данной $M$ и симметричной ей $M'$ . Хорда, перпендикулярная диаметру, делится им пополам, значит $D$ — середина $MM'$ и $DM' = DM = 6$ .

Так как $MD = 6 < AD = 9$ , точка $M$ лежит между $A$ и $D$ , поэтому

AM = AD - MD = 9 - 6 = 3, \qquad AM' = AD + DM' = 9 + 6 = 15.

Отметим основания двух других высот: пусть $K$ — основание высоты из вершины $B$ ( $BK \perp AC$ ), а $P$ — основание высоты из вершины $C$ . Углы $\angle BKC$ и $\angle BPC$ опираются на диаметр $BC$ , значит они прямые, и точки $K, P$ тоже лежат на построенной окружности. Точка $H$ — ортоцентр — есть точка пересечения высот $AD$ , $BK$ и $CP$ .

Степень точки. Для точки $A$ секущая по прямой $AD$ даёт произведение $AM \cdot AM' = 3 \cdot 15 = 45$ . Та же величина, посчитанная по секущей вдоль прямой $AC$ , равна $AK \cdot AC$ , поэтому

AK \cdot AC = 45.

Подобие. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AHK$ и $ACD$ : угол при вершине $A$ у них общий, а $\angle AKH = \angle ADC = 90^\circ$ (высоты $BK$ и $AD$ ). Значит, треугольники подобны по двум углам, откуда

\frac{AH}{AC} = \frac{AK}{AD} \;\Longrightarrow\; AH \cdot AD = AC \cdot AK = 45.

Подставляя $AD = 9$ :

AH = \frac{45}{9} = 5.

Ответ: 5. Проверка здравым смыслом: $AH = 5$ меньше всей высоты $AD = 9$ , ортоцентр лежит внутри остроугольного треугольника — противоречий нет.

Пример 2. Биссектриса, перпендикулярная медиане

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $40$ . Найдите стороны треугольника $ABC$ .

Треугольник ABC, биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и пересекаются в точке O, вспомогательный отрезок DK параллелен BE — Пример 2: биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и равны 40. Вспомогательное построение DK ∥ BE (штриховая) — ключ к решению.

Решение:

Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ ( $E \in AC$ ) и медианы $AD$ ( $D$ — середина $BC$ ). По условию $BE \perp AD$ и $BE = AD = 40$ .

Ключевое наблюдение. Рассмотрим треугольник $ABD$ . Отрезок $BO$ лежит на биссектрисе угла $B$ и одновременно $BO \perp AD$ . Если биссектриса из вершины совпадает с высотой, треугольник равнобедренный, значит $AB = BD$ . Так как $D$ — середина $BC$ , то

BC = 2\,BD = 2\,AB.

В равнобедренном треугольнике $ABD$ отрезок $BO$ — ещё и медиана, поэтому $O$ — середина $AD$ :

AO = OD = \tfrac12 AD = 20.

Вспомогательное построение. Через точку $D$ проведём $DK \parallel BE$ , где $K \in AC$ (штриховая на чертеже). В треугольнике $BCE$ точка $D$ — середина $BC$ , а $DK \parallel BE$ , поэтому $DK$ — средняя линия и $DK = \tfrac12 BE = 20$ , а $K$ — середина $EC$ .

Теперь в треугольнике $ADK$ точка $O$ — середина $AD$ , а $OE \parallel DK$ (обе прямые лежат на $BE$ ), значит $OE$ — средняя линия, $E$ — середина $AK$ и $OE = \tfrac12 DK = 10$ . Отсюда

BO = BE - OE = 40 - 10 = 30.

Теорема Пифагора. Треугольники с вершиной $O$ прямоугольные ( $BE \perp AD$ ). Из $\triangle ABO$ :

AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13},

BC = 2\,AB = 20\sqrt{13}.

Наконец, $E$ — середина $AK$ , а $K$ — середина $EC$ , поэтому $AE = EK = KC$ и $AC = 3\,AE$ . Из $\triangle AOE$ :

AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}, \qquad AC = 3\,AE = 30\sqrt{5}.

Ответ: $AB = 10\sqrt{13}$ , $BC = 20\sqrt{13}$ , $AC = 30\sqrt{5}$ . Проверка: $10\sqrt{13} \approx 36{,}1$ , $20\sqrt{13} \approx 72{,}1$ , $30\sqrt{5} \approx 67{,}1$ — неравенство треугольника выполняется.

Типичные ошибки и ловушки

Решение «в лоб» без чертежа и построений

Без аккуратного рисунка и вспомогательных линий не видно ни подобия, ни скрытых соотношений. Сначала — чертёж и поиск ключевого построения, потом вычисления.

Чертёж не соответствует условию

Классика — нарисовать трапецию вместо параллелограмма (или наоборот) либо непропорциональную фигуру. Ошибка в чертеже мгновенно уводит всё решение в тупик.

Несуществующие свойства и признаки

Например, «средняя линия параллелограмма» или «признак равенства треугольников по трём углам». По трём углам треугольники подобны, а не равны. Смешивать признаки равенства и подобия нельзя.

Утверждения без обоснования

Вывод без ссылки на теорему или свойство — это несущественный недостаток (можно потерять 1 балл), а серьёзный логический разрыв обнуляет решение. Каждый шаг подкрепляйте фактом.

Вычислительная ошибка, меняющая задачу

Пример из критериев ФИПИ: при возведении в квадрат выражений $25y$ и $24y$ коэффициенты оставили без изменения. Такая ошибка изменяет условие — это уже 0 баллов, а не 1.

Только ответ без решения

Даже верный ответ, записанный без хода рассуждений, оценивается в 0 баллов. Ценится именно обоснованное решение, поэтому записывайте всё, что удалось доказать.

Связь с другими заданиями

Задание 25 стоит на вершине геометрической линии ОГЭ. Прочный фундамент под него — задания части 1 про окружность и «средние» задачи части 2. Идти к № 25 логично так: сначала уверенно решать № 16 (окружность в части 1), затем № 23 (геометрия на вычисление) и № 24 (геометрия на доказательство) — и только потом браться за № 25. Задания 23–25 к тому же вместе закрывают геометрический минимум в 2 балла.

Задание 16: окружность Задание 23: геометрия на вычисление Задание 24: геометрия на доказательство Все задания ОГЭ по математике

План подготовки

Неделя 1 — база и приёмы

Повторите теорию окружности (вписанные и центральные углы, угол на диаметр, касательные, степень точки), подобие, свойства биссектрис и медиан. Отдельно потренируйте вспомогательные построения: берите задачи № 23–24 и в каждой сознательно ищите, какую линию можно достроить. Решайте по 2–3 геометрические задачи в день, обязательно с полным письменным обоснованием.

Неделя 2 — оформление и разбор задач 25

Разбирайте по одной задаче 25 в день: сначала пытайтесь сами найти ключевой ход (до 10 минут), потом смотрите разбор и переписывайте решение начисто, обосновывая каждый шаг, как в бланке № 2. Сверяйтесь с критериями: за что ставят 2, за что 1, за что 0. Цель недели — не «нарешать много», а научиться грамотно оформлять и добывать частичный балл там, где полное решение не даётся.

Доведите геометрию до автоматизма

На Repet.ai собраны реальные задания 23–25 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Пишите развёрнутое решение — ИИ проверит его по критериям и покажет, где добавить обоснование.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

2 первичных балла за полное верное решение с обоснованиями. Возможен 1 балл — если ход решения верный, но оно не доведено до числа либо есть непринципиальная вычислительная ошибка. За только ответ без решения, фрагментарные записи или существенную ошибку ставят 0 баллов.

Это самая сложная задача экзамена: геометрия высокого уровня сложности. По спецификации ФИПИ планируемый процент выполнения — всего 3–15 %, самый низкий в варианте. Для отметки «3» задание не обязательно; оно решает, будет ли «4» или «5». Браться за него стоит в последнюю очередь, когда сделано всё остальное.

Чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрические задания. В этот минимум входят задания части 1 (№ 15–19) и части 2 (№ 23–25). Обычно минимум надёжнее закрыть на более простых № 15–19, 23 и 24, чем на самом трудном № 25.

Вспомогательное построение — дополнительная линия, точка или окружность, которых нет в условии. Чаще всего достраивают перпендикуляр, радиус в точку касания, параллельную прямую (создающую среднюю линию или подобие) либо достраивают фигуру до знакомой: полуокружность до полной окружности, треугольник до параллелограмма. Именно построение «проявляет» скрытые углы и подобные треугольники.

Введите обозначения, сделайте чертёж, обоснуйте каждый шаг ссылкой на теорему или свойство и доведите вычисления до числа с записью «Ответ: …». Эксперт оценивает математическую грамотность и полноту, а не аккуратность записи. Фактами из школьных учебников (признаки подобия, свойство биссектрисы) можно пользоваться без доказательства.

Да, частичный балл реален. Если из записи виден верный ход решения, но оно не доведено до числа или есть непринципиальная вычислительная ошибка, ставят 1 балл. Поэтому записывайте всё, что удалось доказать, даже если не дошли до финального числа.

Официального норматива на отдельное задание нет; весь экзамен длится 235 минут. Разумно оставить на № 25 запас в конце — минут 20–30, но только после того, как сделаны часть 1 и более простые задания части 2. Если за 5–7 минут не видите ключевого хода, зафиксируйте то, что успели, и вернитесь позже.

Да. На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике есть задания 25 из открытого банка ФИПИ. Вы пишете развёрнутое решение текстом, а ИИ проверяет его по критериям ФИПИ и выставляет 0, 1 или 2 балла с разбором — это удобнее, чем сверяться только с готовым ответом.

Готовы замахнуться на «пятёрку»?

Задание 25 — самая трудная задача ОГЭ, но и самая интересная: решается одним точным вспомогательным построением. На Repet.ai собраны реальные задания 23–25 из банка ФИПИ, а ИИ проверяет ваше развёрнутое решение по критериям и подсказывает, где не хватило обоснования. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и добывайте свои баллы за геометрию.

Тренировать задание 25 Разобрать задание 24 Все задания ОГЭ по математике