Задание 24 ОГЭ по математике: геометрическая задача на доказательство

Задание 24 — единственная задача на доказательство во всём ОГЭ по математике. Здесь нужно не получить число, а строго доказать геометрическое утверждение: что треугольники подобны, что углы равны, что прямые перпендикулярны и так далее. Это задание части 2: решение записывается полностью, с обоснованием каждого шага, в бланк №2 и проверяется экспертами. За него дают 2 первичных балла, уровень — повышенный. Вместе с заданиями 23 и 25 оно входит в геометрический блок части 2 и засчитывается в обязательный минимум по геометрии (не меньше 2 баллов за геометрию, иначе отметку выше «2» не поставят). В статье — как устроено доказательство, какие инструменты нужны (признаки равенства и подобия, вписанные углы, биссектрисы), дословные критерии 2/1/0, как оформить решение на максимум, два разбора реальных заданий из банка ФИПИ и типичные логические ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 24 ОГЭ онлайн: наш тренажёр принимает развёрнутое доказательство текстом и проверяет его ИИ по критериям ФИПИ — с оценкой 0, 1 или 2 балла и комментарием, где обоснование пропущено.

Что проверяет задание 24

Задание 24 проверяет умение проводить доказательные рассуждения: логично выстраивать цепочку шагов, ссылаться на аксиомы, теоремы, признаки и свойства фигур, оценивать правильность рассуждений и не выдавать за доказательство то, что «видно на рисунке». Материал — школьная планиметрия из трёх разделов: треугольники, четырёхугольники и окружности. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

отделять данные (что дано) от того, что требуется доказать;
строить цепочку логических шагов от условия к выводу;
на каждом шаге ссылаться на конкретный признак, свойство или теорему;
применять признаки равенства и подобия треугольников, свойства параллелограмма, ромба, трапеции, вписанных и центральных углов;
делать аккуратный чертёж, соответствующий записям решения;
завершать доказательство явным выводом («что и требовалось доказать»).

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию, спецификацию и методические рекомендации ФИПИ.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (возможен 1 балл — см. критерии ниже)
Уровень сложности	Повышенный
Формат ответа	Развёрнутое доказательство в бланке №2 (проверяют эксперты)
Раздел	Геометрия: треугольники, четырёхугольники, окружности
Рекомендуемое время	≈ 15–25 минут (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	19 (верные утверждения), 23 (вычисление), 25 (высокий уровень)

Важно про геометрический минимум: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию — это задания 15–19 из части 1 и 23–25 из части 2. Задание 24 — естественный кандидат «добрать» эти баллы, если оно вам по силам.

Проверьте своё доказательство по критериям ФИПИ

Задания 24 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ. Пишете доказательство текстом — ИИ оценивает его на 0, 1 или 2 балла и показывает, где не хватает обоснования. Бесплатно.

Решать задание 24

Как выглядит формулировка

Формулировка всегда начинается со слова «Докажите» — числового ответа здесь нет. Даётся конфигурация из фигур и несколько условий, а требуется установить какой-то факт: равенство, подобие, параллельность, перпендикулярность, принадлежность точки прямой или окружности. Примеры реальных формулировок:

«Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4 и 64, $BD = 16$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны».
«В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ . Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны».
«Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D$ , причём точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$ . Докажите, что прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны» (демонстрационный пример ФИПИ).

Обратите внимание: числа в условии (как «4», «64», «16» в первом примере) — это не то, что нужно «посчитать», а данные, из которых строится рассуждение. Доказательство обычно почти без вычислений: главное — логика и ссылки на теоремы.

Как устроено доказательство и какие нужны инструменты

Чтобы получить 2 балла, важны две вещи: правильная структура доказательства и знание опорных фактов, на которые можно ссылаться. Разберём и то, и другое.

Структура: дано → доказать → шаги → вывод

Любое доказательство удобно оформлять по одному и тому же каркасу — так эксперту (и вам самим) видно, что рассуждение полное:

Чертёж. Аккуратный рисунок к условию. Он должен соответствовать записям решения — если на рисунке одно, а в тексте другое, балл снижают.
Дано. Выпишите все данные из условия (какие фигуры, какие равенства, параллельности и т. д.).
Доказать. Чётко сформулируйте, что именно требуется установить.
Доказательство. Цепочка шагов от данного к искомому. Каждый шаг — со ссылкой на признак, свойство, теорему или аксиому. Это и есть «все шаги обоснованы».
Вывод. Явная финальная фраза: «что и требовалось доказать».

Ценится лаконичность: короткое верное доказательство со всеми шагами эксперт считает решением без недостатков. За лишние, избыточные рассуждения балл не снижают, но и не добавляют — поэтому не «лейте воду».

Признаки равенства и подобия треугольников

Самый частый «двигатель» доказательства — свести всё к равным или подобным треугольникам, а из них уже вытащить равенство сторон или углов.

Признаки равенства:

по двум сторонам и углу между ними;
по стороне и двум прилежащим к ней углам;
по трём сторонам.

Признаки подобия:

по двум углам;
по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними;
по трём пропорциональным сторонам.

Полезные спутники: у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а медиана, биссектриса и высота к основанию совпадают; средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Эти факты можно применять без доказательства — они из учебника.

Вписанные углы и биссектрисы — типовые инструменты

В задачах про окружности и параллелограммы работают несколько «коронных приёмов», которые полезно узнавать сразу:

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу (или на одну хорду с одной стороны), равны; вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой ( $90^\circ$ ), и обратно: если отрезок виден из точки под прямым углом, точка лежит на окружности с этим отрезком-диаметром. Это «переключатель» между прямыми углами и окружностью.
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности; точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
Биссектриса + параллельность ⇒ равнобедренный треугольник. Классический приём в параллелограмме: биссектриса угла «отсекает» равнобедренный треугольник, потому что накрест лежащие углы равны углам, на которые делит биссектриса.
Биссектриса угла — множество точек, равноудалённых от сторон угла.

Как оформить решение на 2 балла

2 балла ставят, когда доказательство верное и все шаги обоснованы. На практике это значит:

каждый переход подкреплён названным фактом («по накрест лежащим углам», «по второму признаку подобия», «как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу»);
нет «дыр»: если вы используете, что какие-то отрезки или углы равны, это должно быть доказано, а не взято с рисунка;
вывод сформулирован явно.

Можно спокойно использовать без вывода любые утверждения и методы из действующих учебников — их доказывать заново не нужно.

1 балл — это «несущественные недостатки», а не «вычислительная ошибка»

Частый миф с сайтов-подготовок: якобы 1 балл дают «за вычислительную ошибку». Для задания 24 это неверно — в доказательстве обычно вообще нет вычислений. По методическим рекомендациям ФИПИ 1 балл ставят, когда «доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки» — например, не обоснован какой-то вспомогательный факт, но общая логика правильная. А вот существенная логическая ошибка (пропущен ключевой шаг, круговое рассуждение) — это уже 0.

Критерии оценивания: 2, 1 или 0 баллов

Дословно из методических рекомендаций ФИПИ (таблица «Критерии оценивания выполнения задания 24»):

Балл	Содержание критерия
2	Доказательство верное, все шаги обоснованы
1	Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Отдельно стоит запомнить: только верный «ответ» без доказательства — это 0 баллов. В задаче на доказательство «ответа» как такового нет — ценится именно рассуждение. Так же 0 ставят за фрагментарные записи, несвязные утверждения и за существенную математическую или логическую ошибку.

Алгоритм: как строить доказательство

Сделайте чертёж и выпишите «Дано» и «Доказать». Отметьте на рисунке все данные (равные отрезки, углы, параллельные прямые) — так вы увидите конфигурацию целиком.
Узнайте тип задачи. Что просят доказать — подобие, равенство, параллельность, перпендикулярность, принадлежность окружности? Тип подсказывает инструмент (признак подобия, вписанные углы, серединный перпендикуляр и т. д.).
Найдите «мостик» от данного к искомому. Обычно это пара равных или подобных треугольников, равные углы (накрест лежащие, вписанные) или вспомогательная окружность.
Запишите шаги строго по порядку, обосновывая каждый. Идите от того, что дано, к тому, что доказываете, — и никогда не используйте доказываемое как данное.
Завершите выводом. Напишите «что и требовалось доказать» — это отмечает, что цепочка замкнулась.

Учитесь оформлять доказательство, а не только «решать в уме»

Прорешайте 10–15 заданий 24 подряд, записывая полное доказательство. Тренажёр Repet.ai проверит его по критериям ФИПИ и подскажет, где не хватает обоснования.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Подобие треугольников в трапеции

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4 и 64, $BD = 16$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Трапеция ABCD с основаниями BC = 4 и AD = 64, диагональ BD = 16; накрест лежащие углы при B и D равны — Пример 1: диагональ BD трапеции; равные накрест лежащие углы α = ∠CBD = ∠BDA (чертёж схематичный, не в масштабе)

Доказательство:

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 4$ и $AD = 64$ , диагональ $BD = 16$ . Доказать: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

По определению трапеции её основания параллельны: $BC \parallel AD$ . Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.
Углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ — накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$ и секущей $BD$ , поэтому по свойству параллельных прямых они равны: $\angle CBD = \angle BDA$ .
Найдём отношения сторон, прилежащих к этим равным углам. Угол $\angle CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD$ треугольника $CBD$ , а угол $\angle BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA$ треугольника $BDA$ :

\frac{BC}{BD} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \qquad \frac{BD}{DA} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}.

Значит, $\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{BD}{DA}$ — две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны (шаг 2).

По второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними) треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны. Что и требовалось доказать.

Почему это 2 балла: каждый шаг назван (определение трапеции, свойство накрест лежащих углов, второй признак подобия), пропорция выписана явно, ничего не взято «с рисунка». Обратите внимание, что чертёж схематичный: отношение $1:16$ в масштабе нарисовать невозможно, и это нормально — доказательство опирается на данные, а не на измерения рисунка.

Пример 2. Вписанные углы и окружность на диаметре

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ . Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.

Остроугольный треугольник ABC с высотами AA1 и CC1; точки A1 и C1 лежат на окружности с диаметром AC — Пример 2: высоты AA₁ и CC₁; точки A₁, C₁ лежат на окружности с диаметром AC, равные вписанные углы α опираются на дугу CA₁

Доказательство:

Дано: остроугольный треугольник $ABC$ , высота $AA_1$ ( $A_1 \in BC$ ) и высота $CC_1$ ( $C_1 \in AB$ ). Доказать: $\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$ .

Так как $AA_1$ — высота, $AA_1 \perp BC$ , поэтому $\angle AA_1C = 90^\circ$ : точка $A_1$ видит отрезок $AC$ под прямым углом.
Аналогично $CC_1$ — высота, $CC_1 \perp AB$ , поэтому $\angle AC_1C = 90^\circ$ : и точка $C_1$ видит отрезок $AC$ под прямым углом.
Множество точек, из которых отрезок $AC$ виден под прямым углом, — это окружность с диаметром $AC$ (следствие теоремы о вписанном угле: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой). Значит, обе точки $A_1$ и $C_1$ лежат на этой окружности, то есть точки $A,\ C_1,\ A_1,\ C$ лежат на одной окружности.
Рассмотрим в этой окружности хорду $CA_1$ . Углы $\angle CC_1A_1$ (с вершиной $C_1$ ) и $\angle CAA_1$ (с вершиной $A$ ) — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $CA_1$ , причём вершины $C_1$ и $A$ лежат по одну сторону от хорды.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому $\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1$ . Что и требовалось доказать.

Ключевая идея — увидеть «спрятанную» окружность: два прямых угла на один и тот же отрезок $AC$ означают, что четыре точки лежат на окружности с диаметром $AC$ . Без обоснования шага 3 (почему $A_1$ и $C_1$ оказались на окружности) рассуждение было бы неполным — именно за такие пропуски снимают балл.

Типичные ошибки и ловушки

Круговое рассуждение

Самая грубая ошибка — использовать доказываемое утверждение как данное. Если нужно доказать, что углы равны, нельзя где-то в середине «воспользоваться» их равенством. Это существенная логическая ошибка — 0 баллов.

Доказательство «по рисунку»

«Видно, что отрезки равны», «на рисунке угол прямой» — это не доказательство. Рисунок лишь иллюстрация; всё, что вы используете, должно следовать из условия и теорем. Несоответствие чертежа записям тоже снижает балл.

Частный случай вместо общего

Нельзя доказывать утверждение для удобной частной конфигурации (например, считая точки серединами сторон, если это не дано, или трапецию — равнобедренной). Доказательство должно работать в общем случае, иначе — 0 баллов.

Пропущен ключевой шаг

Если не обосновать важный факт (почему отрезки равны, почему точка лежит на прямой или окружности), цепочка рвётся и рассуждение становится недостаточным. Пропуск существенного шага — 0; пропуск обоснования вспомогательного факта — несущественный недостаток, обычно 1 балл.

«Ответ» без доказательства

В задаче на доказательство нет числового ответа. Написать вывод («значит, они подобны») без цепочки рассуждений — это 0 баллов. Оценивается именно ход доказательства.

Связь с другими заданиями

Задание 24 — часть геометрической линии ОГЭ, и удобно готовиться к нему вместе с соседними заданиями:

Задание 19 — выбор верных геометрических утверждений (истинно/ложно). Тренирует ту же компетенцию: работу с понятиями «теорема», «доказательство» и умение отличать истинное высказывание от ложного. Хорошая «разминка» перед доказательством.
Задание 23 — геометрическая задача на вычисление. Тот же аппарат (подобие, признаки, окружности), но без строгого доказательства — обычно проще задания 24.
Задание 25 — геометрическая задача высокого уровня, часто расчётно-доказательная. Замыкает блок 23 → 24 → 25 по нарастанию трудности.

Статья: задание 19 Статья: задание 23 Статья: задание 25 Все задания ОГЭ по математике

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — инструменты и структура

Повторите признаки равенства и подобия треугольников, свойства равнобедренного треугольника, параллелограмма и трапеции, теорему о вписанных углах и приём «окружность на диаметре». Разберите 6–8 готовых доказательств по образцу и для каждого проговорите: что дано, что доказать, какой шаг чем обоснован. Затем закрывайте решение и восстанавливайте его сами, записывая полностью.

Неделя 2 — на самостоятельное оформление

Решайте по 2–3 задания 24 в день, каждый раз записывая полное доказательство от руки, а потом проверяйте его по критериям: назван ли каждый шаг, нет ли «дыр», не использовали ли вы доказываемое как данное. Удобно проверять себя в тренажёре Repet.ai — ИИ оценит доказательство на 0/1/2 и укажет, где обоснование пропущено.

Доберите баллы за геометрию на задании 24

На Repet.ai собраны задания 24 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Пишите доказательство, получайте оценку по критериям ФИПИ и разбор — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Максимум 2 первичных балла. По критериям ФИПИ: 2 балла — доказательство верное и все шаги обоснованы; 1 балл — доказательство в целом верное, но с несущественными недостатками; 0 баллов — во всех остальных случаях. Это задание части 2 с развёрнутым ответом.

Для задания 24 — нет, это распространённый миф. В доказательстве обычно нет вычислений. По методическим рекомендациям ФИПИ 1 балл — это «доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки», например не обоснован вспомогательный факт при в целом правильной логике. Формулировка про «вычислительную ошибку» относится к общему шаблону части 2, а не к точной таблице задания 24.

Сделайте чертёж, выпишите «Дано» и «Доказать», затем ведите цепочку шагов от условия к выводу, обосновывая каждый шаг ссылкой на признак, свойство или теорему. Ничего не берите «с рисунка», не используйте доказываемое как данное и закончите фразой «что и требовалось доказать». Известные учебниковые факты можно применять без вывода.

Три раздела: треугольники, четырёхугольники и окружности. Частые инструменты — признаки равенства и подобия треугольников, свойства равнобедренного треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции, вписанные и центральные углы, приём «окружность на диаметре», серединный перпендикуляр к хорде, свойства биссектрисы.

Для отметки «3» задания части 2 решать не обязательно — достаточно набрать 8 баллов, но при этом есть условие: не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Задание 24 — один из способов добрать эти геометрические баллы. А для отметок «4» и «5» задания части 2, включая 24, уже практически необходимы.

Да. Участник экзамена может использовать без доказательств и обоснований любые утверждения, факты и методы из действующих школьных учебников. Например, признак подобия или свойство вписанного угла применяются как известные — их не нужно выводить заново.

На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике загружены задания 24 из открытого банка ФИПИ. Вы записываете полное доказательство текстом, а ИИ проверяет его по критериям ФИПИ — ставит 0, 1 или 2 балла и показывает, где не хватает обоснования. Это удобнее, чем сверяться с готовым решением, потому что тренирует именно оформление.

Готовы освоить единственное доказательство ОГЭ?

Задание 24 кажется страшным, но на деле это набор из нескольких типовых приёмов и дисциплина оформления. Освойте структуру «дано → доказать → шаги → вывод», научитесь обосновывать каждый переход — и вы сможете добрать баллы за геометрию. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой доказательства по критериям.

Тренировать задание 24 Разобрать задание 23 Все задания ОГЭ по математике