Задание 9 ОГЭ по математике: уравнения

Задание 9 ОГЭ по математике — это «Решите уравнение». На этой позиции варианта почти всегда стоит уравнение одного из трёх типов: линейное, квадратное (полное или неполное) или простейшее дробно-рациональное. За верный ответ дают 1 первичный балл, уровень — базовый. Ответ — это краткое число, которое записывают в бланк №1, а не выбор из вариантов. Главная ловушка задания спрятана в одной строчке под уравнением: «Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший (или больший) из корней» — и то, какой именно корень нужен, меняется от прототипа к прототипу. Прочитать условие до конца здесь так же важно, как верно решить само уравнение. В статье — вся теория (линейные и квадратные уравнения, дискриминант, теорема Виета, неполные уравнения), пошаговый алгоритм, три разбора реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 9 ОГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 9

По спецификации ОГЭ задание 9 проверяет умение решать линейные и квадратные уравнения, системы линейных уравнений, линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства — формулировка требования по кодификатору общая (уравнения, неравенства и системы). На практике же на позиции 9 в вариантах стоит именно уравнение: неравенства и системы «уходят» в задание 13. От вас требуется грамотно решить уравнение и записать в бланк правильный корень. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

решать линейные уравнения, в том числе со скобками (сначала раскрыть скобки);
решать квадратные уравнения через дискриминант и формулу корней;
применять теорему Виета для быстрого подбора целых корней;
решать неполные квадратные уравнения, не теряя корень $x=0$ и знак $\pm$ ;
решать простейшие дробно-рациональные уравнения с учётом ОДЗ (знаменатель $\neq 0$ );
внимательно читать приписку и записывать тот корень, который требует условие.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли (обычно их публикуют ближе к концу августа), но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Краткий числовой ответ в бланк №1 (не выбор из вариантов)
Раздел	Уравнения и неравенства (на позиции 9 — уравнения)
Рекомендуемое время	≈ 2–4 минуты (ориентир; официального норматива на отдельное задание нет)
Связанные задания	13 (неравенства), 11 (графики), 8 (алгебраические выражения); 20 и 21 из части 2

Небольшой ориентир по всему экзамену: ОГЭ по математике — это 25 заданий (часть 1 — 19 заданий с кратким ответом, часть 2 — 6 заданий с развёрнутым решением), максимум 31 первичный балл. Порог на «3» — 8–14 баллов (при этом не менее 2 баллов за геометрию), на «4» — 15–21, на «5» — 22–31. Задание 9 из части 1 — из тех, что стоит забирать уверенно: уравнения на базовом уровне решаются по чётким алгоритмам.

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 9 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 9

Как выглядит формулировка

Формулировка предельно короткая: «Решите уравнение» или «Найдите корень уравнения», а дальше — само уравнение. Никаких вариантов ответа: вы получаете число и записываете его в бланк. Главное — дочитать до конца: если у уравнения два корня, под ним стоит приписка, какой именно из них занести в ответ. Примеры реальных формулировок из банка ФИПИ:

«Решите уравнение $x^{2}-144=0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней».
«Найдите корень уравнения $10\,(x-9)=7$ ».
«Решите уравнение $2x^{2}-3x+1=0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней».

Читайте приписку до конца

Приписка «в ответ запишите меньший из корней» встречается чаще, но в других прототипах того же задания стоит «больший из корней». Одно и то же уравнение при разной приписке даёт разный ответ. Поэтому решать «на автомате» и вписывать первый попавшийся корень нельзя: сначала находим оба корня, потом смотрим, какой из них требует условие. Записать «не тот» корень при абсолютно верном решении — это прямые 0 баллов.

Теория: всё, что нужно для задания 9

Всё задание 9 держится на нескольких типах уравнений и чётких алгоритмах их решения. Разберём их по порядку — от самого простого линейного до квадратных и их частных случаев.

Линейные уравнения

Линейное уравнение имеет вид $ax+b=0$ ( $a\neq 0$ ). Решается в три шага: перенести слагаемые с $x$ в одну часть, числа — в другую (при переносе через знак равенства знак меняется на противоположный), привести подобные и разделить на коэффициент при $x$ :

ax+b=0 \;\Rightarrow\; ax=-b \;\Rightarrow\; x=-\frac{b}{a}.

Часто под видом линейного идёт уравнение со скобками — тогда сначала раскрываем скобки (каждое слагаемое умножаем на множитель перед ними), а потом действуем по алгоритму. Ответ у линейного уравнения ровно один, поэтому приписки про «больший или меньший корень» здесь не бывает.

Квадратные уравнения: дискриминант и формула корней

Полное квадратное уравнение — $ax^{2}+bx+c=0$ ( $a\neq 0$ ). Универсальный способ — через дискриминант $D=b^{2}-4ac$ :

$D>0$ — два различных корня;
$D=0$ — один корень;
$D<0$ — действительных корней нет.

Корни находят по формуле:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.

Самое опасное место — вычисление дискриминанта при отрицательных коэффициентах: помните, что $b^{2}$ всегда неотрицательно ( $(-9)^{2}=81$ ), а перед $4ac$ стоит минус, который легко потерять.

Теорема Виета и неполные квадратные уравнения

Для приведённого уравнения $x^{2}+px+q=0$ (когда $a=1$ ) работает теорема Виета:

x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=q.

Если коэффициенты «удобные», целые корни часто угадываются устно за пару секунд. Например, для $x^{2}-9x+18=0$ ищем два числа с суммой $9$ и произведением $18$ — это $3$ и $6$ . Если подбор не даётся — всегда есть дискриминант.

Неполные квадратные уравнения решаются ещё проще, без дискриминанта:

$ax^{2}+c=0$ → $x^{2}=-\dfrac{c}{a}$ → $x=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$ (корни есть, только если под корнем неотрицательное число). Не теряйте знак $\pm$ !
$ax^{2}+bx=0$ → выносим общий множитель: $x(ax+b)=0$ → $x=0$ или $x=-\dfrac{b}{a}$ . Корень $x=0$ нельзя терять — именно его теряют, когда «сокращают» уравнение на $x$ .

Какой корень записывать в бланк

Если корней два, ответ определяет приписка под уравнением — больший или меньший из корней. Сравнивая корни, будьте особенно внимательны с отрицательными числами: например, $-12<12$ , поэтому меньший корень — это $-12$ , а не $12$ . У дробно-рациональных уравнений добавляется ещё один шаг: находим ОДЗ (знаменатель не равен нулю), решаем уравнение и отбрасываем корни, обнуляющие знаменатель (посторонние корни).

И про бланк №1: краткий ответ пишут числом без единиц измерения. Десятичная дробь записывается через запятую (например, $9{,}7$ ), а знак минус, если корень отрицательный, ставится в отдельной клетке. Каждая цифра, запятая и минус — в своей клетке, без пробелов.

Алгоритм решения задания 9

Определите тип уравнения. Линейное, квадратное (полное или неполное) или дробно-рациональное? От этого зависит способ решения.
Приведите уравнение к стандартному виду. Раскройте скобки, у дробного — найдите ОДЗ и умножьте на общий знаменатель, перенесите всё в одну часть.
Решите уравнение. Линейное — через $x=-\frac{b}{a}$ ; квадратное — по дискриминанту или Виете; неполное — вынесением множителя или извлечением корня, не теряя $x=0$ и знак $\pm$ .
Отбросьте посторонние корни. В дробном уравнении исключите корни, при которых знаменатель обращается в ноль.
Прочитайте приписку и выберите нужный корень. Если корней несколько — сравните их и запишите тот (больший или меньший), который требует условие.
Запишите ответ в бланк. Число без единиц; дробь — через запятую; минус — в отдельной клетке.

Доведите решение уравнений до автоматизма

Прорешайте 15–20 заданий 9 подряд — и дискриминант, Виета и неполные уравнения перестанут вызывать заминку. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Неполное квадратное уравнение (и ловушка с меньшим корнем)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Решите уравнение $x^{2}-144=0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение:

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^{2}+c=0$ . Перенесём $-144$ в правую часть, изменив знак:

x^{2}=144.

Извлекаем квадратный корень — и обязательно берём оба знака, потому что и $12^{2}=144$ , и $(-12)^{2}=144$ :

x=\pm\sqrt{144}=\pm 12,\qquad x_{1}=12,\quad x_{2}=-12.

По условию нужен меньший корень. Сравниваем: $-12<12$ , значит меньший — это $-12$ .

Ответ: −12. Проверка здравым смыслом: подставим $x=-12$ в уравнение — $(-12)^{2}-144=144-144=0$ , всё сходится. Если бы приписка требовала больший корень, ответ был бы $12$ — тот же пример, другой ответ.

Пример 2. Линейное уравнение со скобками

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите корень уравнения $10\,(x-9)=7$ .

Решение:

Раскроем скобки — умножим $10$ на каждое слагаемое внутри:

10x-90=7.

Перенесём $-90$ в правую часть с противоположным знаком:

10x=7+90=97.

Разделим обе части на $10$ :

x=\frac{97}{10}=9{,}7.

Ответ: 9,7. Проверка здравым смыслом: $10\,(9{,}7-9)=10\cdot 0{,}7=7$ — верно. В бланк дробь записываем через запятую: $9{,}7$ .

Пример 3. Полное квадратное уравнение (дискриминант или Виета)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Решите уравнение $x^{2}-9x+18=0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение:

Это полное квадратное уравнение с $a=1$ , $b=-9$ , $c=18$ . Найдём дискриминант — аккуратно со знаками:

D=b^{2}-4ac=(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 18=81-72=9.

$D>0$ — два корня. Считаем по формуле, где $\sqrt{D}=3$ и $-b=9$ :

x_{1}=\frac{9+3}{2}=6,\qquad x_{2}=\frac{9-3}{2}=3.

Те же корни можно было угадать по теореме Виета: сумма $9$ , произведение $18$ — это $3$ и $6$ . По условию нужен меньший: $3<6$ .

Ответ: 3. Проверка здравым смыслом: $3^{2}-9\cdot 3+18=9-27+18=0$ — верно. Обратите внимание: приписка снова требовала меньший корень; будь там «больший», ответом стало бы $6$ .

Типичные ошибки и ловушки

Записали не тот корень

Самая обидная ошибка: уравнение решено верно, но в ответ ушёл больший корень вместо меньшего (или наоборот). Приписка варьируется от прототипа к прототипу — всегда дочитывайте условие до конца и сверяйтесь, какой корень нужен. Особенно осторожно с отрицательными: меньший из $-12$ и $12$ — это $-12$ .

Ошибка в знаке при переносе слагаемых

При переносе слагаемого через знак равенства знак меняется на противоположный. Забыли поменять — и линейное уравнение решено неверно. Проверяйте себя подстановкой найденного корня в исходное уравнение.

Арифметическая ошибка в дискриминанте

При отрицательных коэффициентах легко потерять знак: $(-9)^{2}$ — это $+81$ , а перед $4ac$ стоит минус. Считайте $D=b^{2}-4ac$ по частям и перепроверяйте знаки.

Потеря корня $x=0$ или знака $\pm$

В $ax^{2}+bx=0$ нельзя «сокращать» на $x$ — так теряется корень $x=0$ ; выносите множитель за скобку. А из $x^{2}=a$ корень извлекают с двумя знаками: $x=\pm\sqrt{a}$ .

Не учли ОДЗ в дробном уравнении

В дробно-рациональном уравнении знаменатель не может быть нулём. Если найденный корень обнуляет знаменатель, это посторонний корень — его отбрасывают. Забыли проверить ОДЗ — рискуете записать в ответ несуществующий корень.

Связь с другими заданиями

Умение решать уравнения — базовый навык, который работает на многие соседние задания. Задание 13 — это неравенства и их системы, «родственник» задания 9 по той же теме кодификатора «Уравнения и неравенства»: разделение простое — на позиции 9 стоят уравнения, на 13 — неравенства. Задание 11 (графики функций) опирается на понимание корней: нули функции — это как раз решения уравнения $f(x)=0$ , а точки пересечения графиков находят, приравнивая их формулы. А задание 8 (алгебраические выражения) даёт ту самую технику преобразований, без которой не свернуть уравнение к стандартному виду.

В части 2 навык из задания 9 — фундамент для более сложных заданий: задание 20 — это уравнения, неравенства и системы с полным развёрнутым решением, а задание 21 — текстовые задачи, где уравнение нужно ещё и составить по условию. Отдельных статей по заданиям части 2 у нас пока нет, но потренировать связанные задания части 1 можно уже сейчас:

Задание 13: неравенства Задание 11: графики функций Задание 8: степени и корни Все задания ОГЭ по математике

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — разбираем типы уравнений

Разберите по одному типу в день: линейные (в том числе со скобками), квадратные через дискриминант, теорему Виета, неполные квадратные, простейшие дробно-рациональные. Выпишите на одну карточку формулу дискриминанта $D=b^{2}-4ac$ , формулу корней и теорему Виета. Решайте по 5–7 заданий 9 в день и каждый раз проверяйте корень подстановкой — это ловит и арифметику, и знаки.

Неделя 2 — на скорость и на внимательность к приписке

Решайте задания 9 вперемешку, отводя на каждое не больше 2–4 минут, и выработайте привычку: сначала найти все корни, потом перечитать приписку — больший или меньший корень нужен. Отдельно тренируйте случаи с отрицательными корнями и неполные уравнения, где легко потерять $x=0$ или знак $\pm$ . Параллельно прорешивайте связанное задание 13 (неравенства), чтобы навык закрепился.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 9 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Умение решать уравнения. По кодификатору тема шире (уравнения, неравенства и системы), но на позиции 9 в вариантах стоит именно «Решите уравнение» — линейное, квадратное (полное или неполное) или простейшее дробно-рациональное. Неравенства и системы вынесены в задание 13.

Тот, который требует приписка под уравнением: «в ответ запишите меньший из корней» или «больший из корней». Формулировка варьируется от прототипа к прототипу, поэтому её обязательно нужно дочитывать до конца. Сначала находите оба корня, затем сравниваете их и выбираете нужный. Осторожно с отрицательными: меньший из −12 и 12 — это −12.

Это краткий числовой ответ, который записывают в бланк №1, а не выбор из вариантов. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Дробь пишут через запятую, знак минус ставят в отдельной клетке, единицы измерения не пишут.

Если коэффициенты «удобные» и уравнение приведённое (при x² стоит 1), сначала попробуйте теорему Виета: подберите два числа с нужной суммой и произведением. Целые корни часто угадываются устно за секунды. Если подбор не даётся — считайте через дискриминант D = b² − 4ac и формулу корней.

Вынесите x за скобку: x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, значит x = 0 или x = −b/a. Главное — не «сокращать» уравнение на x, иначе потеряете корень x = 0. А из уравнения x² = a корень извлекают с двумя знаками: x = ±√a.

Сначала найдите ОДЗ — значения, при которых знаменатель не равен нулю. Затем умножьте уравнение на общий знаменатель и решите полученное уравнение. В конце обязательно проверьте корни: если какой-то из них обнуляет знаменатель, это посторонний корень, и его отбрасывают.

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой (в том числе верно решённое уравнение, но записанный не тот корень) — 0. Все задания части 1 ОГЭ по математике (№1–19) оцениваются по 1 баллу.

По рекомендуемой шкале 2026 года максимум — 31 первичный балл: «3» — 8–14 баллов (при этом не менее 2 баллов за геометрию), «4» — 15–21, «5» — 22–31. Шкала рекомендательная, регионы могут её уточнять, а проекты 2027 года пока не опубликованы.

Готовы забирать балл за задание 9 уверенно?

Задание 9 — из тех, что решаются по чётким алгоритмам: выучите дискриминант, теорему Виета и приёмы для неполных уравнений — и не забывайте дочитывать приписку про больший или меньший корень. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и доведёте навык решения уравнений до автоматизма.

Тренировать задание 9 Разбор задания 8 Все тесты и тренажёры