Задание 22 ОГЭ по математике: построение графика функции

Задание 22 — это самое сложное алгебраическое задание второй части ОГЭ по математике. Нужно построить график функции (обычно с модулем, кусочно заданной или с дробью, где появляется выколотая точка), а затем ответить на вопрос вроде «при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки». Решение записывается развёрнуто в бланк №2. За задание дают 2 первичных балла, и здесь действует важное правило: первичен именно график — верный ответ про $m$ без верно построенного графика не даёт ни одного балла. По методическим рекомендациям ФИПИ это задание высокого уровня сложности (наравне с геометрическим заданием 25), рассчитанное на углублённый курс. В статье — критерии ФИПИ дословно, как оформить решение на 2 балла, методы (раскрытие модуля, выколотая точка, «сканирующая прямая $y = m$ »), два разбора реальных заданий из банка ФИПИ с чертежами и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 22 ОГЭ онлайн — наш тренажёр принимает развёрнутое решение текстом и проверяет его ИИ по критериям ФИПИ.

Что проверяет задание 22

Задание проверяет свободное владение функциями и графиками: умение перейти от аналитической записи к точному чертежу и «прочитать» по графику, как ведёт себя семейство прямых $y = m$ (или $y = kx$ ). Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

раскрывать модуль по промежуткам и переходить к кусочной записи функции;
строить параболы (по вершине и нулям) и ветви гипербол, ограничивая каждый кусок своим промежутком;
сокращать дробь и ставить выколотую точку там, где функция не определена;
считать число общих точек графика с прямой $y = m$ при разных $m$ , отслеживая критические уровни (вершины, стыки, выколотые точки);
аккуратно оформлять чертёж: масштаб, ключевые точки, выколотые точки кружочком.

Проекты документов ОГЭ-2027 на момент публикации ещё не вышли, но структура экзамена не менялась с 2025 года, поэтому всё ниже опирается на действующую демоверсию и спецификацию ФИПИ 2026 года, а критерии — на «Методические рекомендации для предметных комиссий» ФИПИ.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (возможен 1 балл, см. критерии ниже)
Уровень сложности	Высокий (по МР ФИПИ — наравне с заданием 25)
Формат ответа	Развёрнутое решение с чертежом в бланке №2
Раздел	Алгебра: функции и графики (часть 2)
Рекомендуемое время	≈ 20–30 минут (ориентир, официального норматива нет)
Связанные задания	11 и 9 (графики в части 1), 20 (соседнее алгебраическое), 25 (парное «высокого уровня» по геометрии)

Задания части 2 (20–25) необязательны для тройки, но именно они решают, будет у вас «4» или «5». Задание 22 — самое дорогое по трудности из алгебраических; браться за него стоит, когда часть 1 и более простые задания 20–21 уже уверенно решаются.

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 22 ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ. Вы записываете развёрнутое решение, а ИИ проверяет его по критериям ФИПИ и выставляет 0, 1 или 2 балла с разбором.

Решать задание 22

Как выглядит формулировка

Формулировка всегда состоит из двух частей: «постройте график функции …» и вопрос про прямую. Функция бывает трёх основных типов — с модулем, кусочно заданная и дробь с сокращением. Примеры реальных формулировок:

«Постройте график функции $y = x^{2} + 14x - 3\left|x + 8\right| + 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки».
«Постройте график функции $y = \begin{cases} x^{2} + 2x + 1, & x \geq -4,\\ -\tfrac{36}{x}, & x < -4, \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки».
«Постройте график функции $y = \dfrac{1{,}5\left|x\right|^{2} - \left|x\right|}{\left|x\right| - 1{,}5}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком ни одной общей точки» (график состоит из частей гипербол с выколотыми точками).

Вопрос почти всегда про число общих точек с прямой. Иногда прямая горизонтальная ( $y = m$ ), иногда проходит через начало координат ( $y = kx$ ) — метод один и тот же: строим график и «сканируем» его прямой.

Что нужно знать, чтобы построить график

Почти все функции в задании 22 собираются из знакомых кусков — парабол, прямых и ветвей гипербол. Сложность в том, чтобы правильно раскрыть модуль, ограничить каждый кусок своим промежутком и не забыть выколотые точки.

Раскрытие модуля по промежуткам

Модуль $\left|f(x)\right|$ раскрывается по определению: там, где подмодульное выражение $\geq 0$ , знак не меняется; там, где оно $< 0$ — берём его с противоположным знаком.

Найдите точку, где подмодульное выражение обращается в ноль (например, для $\left|x + 8\right|$ это $x = -8$ ).
Разбейте числовую ось на промежутки и на каждом запишите функцию без модуля, подставив нужный знак.
Проверяйте знак подстановкой конкретного числа из промежутка — это спасает от самой частой ошибки с потерянным минусом.

Важно раскрывать весь модуль целиком: в $-3\left|x + 8\right|$ при $x < -8$ получится $-3\cdot\big(-(x+8)\big) = +3(x+8)$ — знак меняется у всего выражения под модулем.

Кусочные функции и стыки

После раскрытия модуля (или если функция уже задана кусочно) график собирается из нескольких формул, каждая на своём промежутке. Правила:

Стройте каждый кусок только на его промежутке — не давайте ветви «заходить» за границу.
В точке стыка вычислите значения обеих формул. Если они совпадают — график непрерывен, точка одна; если различаются — будет разрыв (одна точка закрашена, другая выколота).
Отметьте на границе, входит ли она в промежуток ( $\leq$ — точка закрашена, $<$ — выколота).

Выколотая точка (сокращение дроби)

Если функция — дробь, её обычно можно сократить и получить параболу, прямую или гиперболу. Но в точке, где знаменатель обращался в ноль, функция не определена — там ставится выколотая точка (кружочек).

Например, $y = \dfrac{x^{2} - 9}{x - 3}$ при $x \ne 3$ равно $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ — это прямая, но с выколотой точкой $(3;\,6)$ :

y = \frac{x^{2}-9}{x-3} = x + 3,\quad x \ne 3

Выколотая точка — не мелочь: по критериям ФИПИ график, где выколотые точки не найдены и не обозначены, оценивается в 0 баллов. В выколотой точке прямая пересечения не даёт — это меняет ответ про параметр.

Прямая y = m как «сканер»

Когда график готов, вопрос про число общих точек с прямой $y = m$ решается наглядно: мысленно ведём горизонтальную прямую снизу вверх и считаем, сколько раз она пересекает график на каждом уровне $m$ .

Число пересечений меняется скачком на критических уровнях: вершины парабол, точки стыка кусков и выколотые точки.
На уровне вершины параболы прямая касается её — это одна точка вместо двух.
На уровне выколотой точки прямая через неё не пересекает график — на единицу меньше точек, чем «кажется».
Отдельно проверяйте сами граничные значения $m$ — их легче всего потерять, а частичный ответ снимает балл.

Для прямой $y = kx$ идея та же, только прямую не двигают вверх-вниз, а поворачивают вокруг начала координат.

Как оформить решение на 2 балла

Эксперт должен увидеть верно построенный график. Что для этого нужно написать в бланке №2:

преобразования: раскрытие модуля / сокращение дроби и кусочную запись функции;
ключевые точки — вершины парабол, нули, точки стыка и координаты выколотых точек;
сам чертёж в масштабе, с осями и обозначенными выколотыми точками (кружочком);
разбор числа пересечений с прямой по промежуткам $m$ и отдельно записанный ответ на вопрос.

Доказывать, что кривые — фрагменты именно гипербол или парабол, не обязательно: комментарий ФИПИ прямо отмечает, что участник может этого не писать. Главное — чтобы чертёж был верным и содержательным.

Критерии ФИПИ: график первичен

Формулировка критериев из методических рекомендаций ФИПИ:

Содержание критерия	Баллы
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2
График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Вывод, который стоит выучить: без верного графика верный ответ про параметр не даёт баллов вообще — это 0. А вот верный график с неверно найденным (или ненайденным) параметром — уже 1 балл. Поэтому сначала аккуратный чертёж, и только потом — охота за значениями $m$ .

Алгоритм решения задания 22

Упростите функцию. Раскройте модуль по промежуткам или сократите дробь; запишите функцию кусочно и отметьте, где появляются выколотые точки.
Разберите каждый кусок. Для параболы найдите вершину и нули, для гиперболы — несколько контрольных точек и асимптоты. Помните про границы промежутков.
Постройте график в масштабе. Соберите куски, отметьте вершины, стыки и выколотые точки (кружочком). Это — главная, оцениваемая часть работы.
«Просканируйте» график прямой. Двигая $y = m$ снизу вверх, посчитайте число общих точек на каждом промежутке и на критических уровнях.
Выпишите ответ на вопрос. Соберите все значения $m$ , дающие нужное число точек, и не забудьте граничные случаи. Ответ запишите отдельной строкой.

Учитесь оформлять, а не только считать

В задании 22 балл ставят за чертёж и обоснование. На Repet.ai вы пишете развёрнутое решение, а ИИ проверяет его по критериям ФИПИ — сразу видно, где теряется балл.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Функция с модулем (две параболы)

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Постройте график функции $y = x^{2} + 14x - 3\left|x + 8\right| + 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Подмодульное выражение $x + 8$ меняет знак в точке $x = -8$ . Раскроем модуль по определению.

При $x \geq -8$ : $\left|x + 8\right| = x + 8$ , поэтому

y = x^{2} + 14x - 3(x + 8) + 48 = x^{2} + 11x + 24.

Это парабола ветвями вверх с вершиной $\left(-5{,}5;\,-6{,}25\right)$ и нулями $x = -8$ и $x = -3$ .

При $x < -8$ : $\left|x + 8\right| = -(x + 8)$ , поэтому

y = x^{2} + 14x + 3(x + 8) + 48 = x^{2} + 17x + 72.

Это парабола ветвями вверх с вершиной $\left(-8{,}5;\,-0{,}25\right)$ и нулями $x = -9$ и $x = -8$ ( последний не входит в промежуток $x < -8$ ). Итоговая функция:

y = \begin{cases} x^{2} + 11x + 24, & x \geq -8,\\[2pt] x^{2} + 17x + 72, & x < -8. \end{cases}

В точке стыка $x = -8$ обе формулы дают $y = 0$ — график непрерывен, точка $(-8;\,0)$ оказывается локальным максимумом. Слева от неё — неглубокая «ямка» (минимум $-0{,}25$ ), справа — глубокая (минимум $-6{,}25$ ):

График функции y=x^2+14x-3|x+8|+48: две параболы, состыкованные в точке (-8; 0); левая ямка мелкая с минимумом (-8,5; -0,25), правая глубокая с минимумом (-5,5; -6,25); штриховая прямая y=m на уровне -0,25 даёт ровно три общие точки — Пример 1: две параболы со стыком в точке (−8; 0). Прямая y = m на уровне вершины левой ямки (−0,25) пересекает график ровно в трёх точках

Теперь двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и считаем общие точки:

$m = -6{,}25$ — 1 точка (вершина правой параболы);
$-6{,}25 < m < -0{,}25$ — 2 точки;
$m = -0{,}25$ — 3 точки (вершина левой ямки $(-8{,}5;\,-0{,}25)$ плюс две точки справа);
$-0{,}25 < m < 0$ — 4 точки;
$m = 0$ — 3 точки: $(-9;\,0)$ , $(-8;\,0)$ , $(-3;\,0)$ ;
$m > 0$ — 2 точки.

Ровно три общие точки получаются на двух уровнях: у вершины левой ямки и на уровне стыка.

Ответ: $-0{,}25;\ 0$ . Проверка здравым смыслом: обе «тройки» точек соответствуют особым уровням графика (вершина мелкой ямки и общий нуль трёх ветвей) — это согласуется с чертежом.

Пример 2. Кусочная функция: парабола и гипербола

Условие (реальное задание из открытого банка ФИПИ):

Постройте график функции

y = \begin{cases} x^{2} + 2x + 1, & x \geq -4,\\[2pt] -\dfrac{36}{x}, & x < -4, \end{cases}

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

При $x \geq -4$ : $y = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$ — парабола ветвями вверх с вершиной $(-1;\,0)$ , которая касается оси $Ox$ . На левом конце промежутка $x = -4$ значение $y = (-4 + 1)^{2} = 9$ , то есть кусок начинается в закрашенной точке $(-4;\,9)$ и идёт вниз до вершины, затем вверх (контрольные точки $(0;\,1)$ , $(1;\,4)$ ).

При $x < -4$ : $y = -\dfrac{36}{x}$ . Так как $x < 0$ , значения положительны — это ветвь гиперболы во второй четверти. При $x \to -\infty$ она приближается к $y = 0$ сверху, а при $x \to -4$ стремится к $y = 9$ (контрольные точки $(-6;\,6)$ , $(-9;\,4)$ , $(-12;\,3)$ ).

В точке $x = -4$ парабола даёт $y = 9$ (входит в промежуток), а гипербола лишь стремится к 9 — значит, точка $(-4;\,9)$ принадлежит параболе, и график непрерывен:

График кусочной функции: парабола y=(x+1)^2 при x>=-4 (касается оси Ox в точке (-1; 0)) и ветвь гиперболы y=-36/x при x<-4, идущая к точке (-4; 9); штриховая прямая y=9 задаёт граничный случай — Пример 2: парабола (x+1)² при x ≥ −4 и ветвь гиперболы −36/x при x < −4. В точке (−4; 9) график непрерывен, эта точка принадлежит параболе

Считаем число общих точек с прямой $y = m$ :

$m < 0$ — точек нет;
$m = 0$ — 1 точка (вершина параболы $(-1;\,0)$ , прямая касается);
$0 < m < 9$ — 3 точки (одна на гиперболе и две на параболе);
$m = 9$ — 2 точки: $x = -4$ и $x = 2$ на параболе (гипербола к $(-4;\,9)$ лишь стремится, пересечения не даёт);
$m > 9$ — 1 точка (только правая ветвь параболы).

Одна или две общие точки: одна — при $m = 0$ ; одна или две — при $m \geq 9$ (при $m = 9$ ровно две, при $m > 9$ — одна).

Ответ: $0;\ [9;\,+\infty)$ . Проверка здравым смыслом: значение $m = 9$ — это как раз уровень стыка, где «пропадает» точка на выколотом конце гиперболы, поэтому именно здесь число точек меняется — всё согласуется с чертежом.

Типичные ошибки и ловушки

Забытая или неверно обозначенная выколотая точка

Самая «дорогая» ошибка: по критериям ФИПИ график, где выколотые точки не найдены и не обозначены, — это 0 баллов. Всегда проверяйте, где знаменатель обращается в ноль, и рисуйте кружочек с точными координатами.

Неверный знак при раскрытии модуля

При $x < -8$ выражение $-3\left|x+8\right|$ становится $+3(x+8)$ — знак меняется у всего подмодульного выражения. Проверяйте знак подстановкой числа из промежутка.

Потерянные граничные значения параметра

Число точек меняется скачком на уровнях вершин, стыков и выколотых точек. Легко найти «два значения из трёх» — а это уже неполный ответ и потеря балла. Отдельно проверяйте сами критические уровни $m$ .

Кусок «заходит» за свой промежуток

Каждую формулу строят только на её промежутке. Если продолжить параболу или гиперболу за границу, появятся лишние пересечения и неверный ответ. А при $\left|f(x)\right|$ отрицательную часть отражают вверх, а не стирают.

Небрежный чертёж без масштаба

«Склейка» парабол дугой вместо корректного стыка, отсутствие масштаба или ключевых точек — по критериям ФИПИ это неверный график и 0 баллов, даже если параметр найден правильно.

Слепое доверие готовым решениям

В сборниках и онлайн-банках встречаются неверные готовые ответы — особенно в граничных случаях и на ветвях, уходящих в бесконечность. Всегда перепроверяйте разбор случаев сами: постройте график и просканируйте его прямой, а не списывайте ответ.

Связь с другими заданиями

Задание 22 — вершина «графической» линии ОГЭ. Фундамент под него закладывают задания части 1, где графики уже встречаются, а рядом в части 2 стоит соседнее алгебраическое задание 20. Парное «высокого уровня» задание 25 — тоже про сложную задачу, но по геометрии (и, как задания 23–25, идёт в зачёт по геометрическому минимуму).

Задание 11: графики функций Задание 9: уравнения Задание 20: алгебра части 2 Все задания ОГЭ по математике

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — уверенно строим графики

Отработайте по отдельности три типа функций: с модулем (раскрытие по промежуткам и метод отражения), кусочные (стыки и границы) и дроби с сокращением (выколотые точки). Для каждого задания стройте график от руки на клетчатой бумаге в масштабе, с вершинами, нулями и выколотыми точками. Цель недели — чтобы верный чертёж получался стабильно: именно за него ставят балл.

Неделя 2 — параметр и оформление

Теперь добавляйте вопрос про прямую: тренируйте «сканирование» графика прямой $y = m$ и $y = kx$ , обязательно проверяя граничные уровни. Каждое решение записывайте полностью, как в бланк №2, и сверяйте с критериями (график → разбор случаев → отдельный ответ). Полезно прогонять решения через проверку по критериям ФИПИ, чтобы видеть, где теряется балл.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 22 ОГЭ по математике из банка ФИПИ. Пишите развёрнутое решение, а ИИ оценит его по критериям и подскажет, где чертёж или разбор случаев подводит.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Максимум 2 первичных балла. По критериям ФИПИ: 2 балла — график построен верно и верно найдены значения параметра; 1 балл — график верный, но параметр найден неверно или не найден; 0 баллов — во всех остальных случаях. Первичен именно график.

Нет. Верный ответ про параметр без верно построенного графика оценивается в 0 баллов. Один балл дают, наоборот, за верный график с неверным или ненайденным параметром. Поэтому в первую очередь стройте аккуратный чертёж с обоснованием.

Три основных типа: функции с модулем (раскрываются по промежуткам, часто получаются две параболы), кусочно заданные функции (парабола + прямая или гипербола со стыком) и дроби, которые сокращаются до параболы, прямой или гиперболы с выколотой точкой. Вопрос почти всегда про число общих точек с прямой y = m или y = kx.

Это точка, где функция не определена (обычно знаменатель дроби обращается в ноль), — на графике она обозначается пустым кружочком. В выколотой точке прямая пересечения не даёт, поэтому она напрямую влияет на ответ про параметр. По критериям ФИПИ график без найденных и обозначенных выколотых точек — это 0 баллов.

Нет. Комментарий ФИПИ прямо отмечает, что участник может не писать, что построенные кривые являются фрагментами гипербол или парабол, — это не требуется. Достаточно верно и содержательно построить график: с масштабом, ключевыми и выколотыми точками.

Нет. Для положительной отметки задания части 2 (20–25) необязательны, тройку можно получить и без них. Но задание 22 — одно из самых сложных, и вместе с другими заданиями части 2 оно решает, будет у вас «4» или «5». Браться за него стоит, когда часть 1 уже уверенно решается.

Задание сложное, и в готовых решениях (в том числе онлайн) нередко теряют граничные значения параметра или неверно разбирают ветви, уходящие в бесконечность. Не полагайтесь на ключ вслепую: постройте график сами и просканируйте его прямой — так вы поймаете и чужие, и свои ошибки.

Да. На Repet.ai в разделе ОГЭ по математике загружены задания 22 из открытого банка ФИПИ. Вы записываете развёрнутое решение, а ИИ проверяет его по критериям ФИПИ (0/1/2 балла) и показывает разбор — это удобнее, чем сверяться с ключами в конце сборника.

Готовы взять сложное задание части 2?

Задание 22 приносит 2 балла, которые часто решают судьбу оценки «4» или «5». Ключ к нему — верный график и аккуратное оформление. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ: пишите развёрнутое решение, получайте оценку по критериям и разбор — бесплатно.

Тренировать задание 22 Разбор задания 20 Все задания ОГЭ по математике