Решение:
Для нахождения значения синуса воспользуемся фундаментальной связью между тригонометрическими функциями одного аргумента — основным тригонометрическим тождеством:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
Выразим из этой формулы квадрат синуса:
$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$
Подставим известное по условию значение $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ в полученное выражение:
$$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$
Отсюда следует, что $\sin \alpha$ может принимать два значения: $\frac{1}{5}$ или $-\frac{1}{5}$.
Так как по условию угол $\alpha$ принадлежит первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), синус в этом промежутке принимает только положительные значения.
Следовательно, $\sin \alpha = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: 0,2

Источник: ФИПИ