Задание №21 — Теория игр
Условие игры
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня
– увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 7), (20, 7), (10, 9), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 122. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 122 камня или больше.
В начальный момент в первой куче было три камня, во второй куче — S камней;
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от дальнейшей игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Для игры, описанной выше, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Правильный ответ
55
Пояснение
Решение:
Напомним условия игры: перед игроками две кучи камней, за ход можно добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня либо увеличить количество камней в одной из куч вдвое; игра заканчивается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее . Начальная позиция — , первым ходит Петя.
Позицию будем оценивать с точки зрения игрока, который ходит из неё. Обозначим: В1 — из позиции можно выиграть первым же ходом; П1 — любой ход не заканчивает игру и переводит соперника в В1 (то есть ходящий проигрывает следующим ходом соперника); В2 — позиция не В1, но есть ход, переводящий соперника в П1, то есть ходящий выигрывает ровно вторым своим ходом при любой игре соперника.
В1. Из позиции игру заканчивают ход «добавить два камня» () и удвоение большей кучи (). Второе условие слабее, поэтому В1 — это все .
П1 для начальной позиции — единственное значение ; В2 — значения , .
Ваня выигрывает первым или вторым своим ходом при любой игре Пети, если каждый ход Пети приводит в позицию из В1 или В2 (и не заканчивает игру); гарантированной победы первым ходом у Вани нет, если хотя бы один ход Пети ведёт в В2, а не в В1.
При четыре хода Пети дают позиции (В2), (В2), (В2), (В1). Все они для Вани выигрышны не позже второго хода, но три из них — только вторым ходом, поэтому гарантированно выиграть первым ходом Ваня не может. Полный перебор подтверждает, что меньших значений с таким свойством нет.
Перебор всех удобно сделать программой:
N = 122
def moves(p):
a, b = p
return [(a + 2, b), (a, b + 2), (2 * a, b), (a, 2 * b)]
def over(p): # игра закончена
return p[0] + p[1] >= N
def win1(p): # В1: выигрыш своим первым ходом
return any(over(q) for q in moves(p))
def lose1(p): # П1: любой ход отдаёт победу сопернику
return all(not over(q) and win1(q) for q in moves(p))
def win2(p): # В2: выигрыш вторым ходом, но не первым
return not win1(p) and any(not over(r) and lose1(r) for r in moves(p))
def lose2(p): # Ваня выигрывает первым или вторым ходом,
return (all(not over(q) and (win1(q) or win2(q)) for q in moves(p))
and not lose1(p)) # но не гарантированно первым
print(min(s for s in range(1, 118) if lose2((3, s))))Ответ: 55