Решение:
Для нахождения значения косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$.
Из данного равенства выразим квадрат косинуса: $\cos^{2} \alpha = 1 - \sin^{2} \alpha$.
Подставим известное значение синуса в формулу:
$$\cos^{2} \alpha = 1 - \left( -\frac{\sqrt{19}}{10} \right)^{2} = 1 - \frac{19}{100} = \frac{81}{100}$$
Отсюда следует, что $\cos \alpha$ может принимать два значения: $\frac{9}{10}$ или $-\frac{9}{10}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, следовательно, $\cos \alpha = -0,9$.

Ответ: -0,9

Источник: ФИПИ