Задание №18 — Задачи на динамику для таблиц

Решение:

Робот ходит только вправо и вниз, поэтому в любую клетку он приходит либо сверху, либо слева и ни одной клетки не проходит дважды. Значит, работает динамическое программирование: для каждой клетки достаточно хранить максимальную и минимальную суммы, которые можно накопить, дойдя до неё из левой верхней клетки.

Пусть $a_{ij}$ — номинал монеты в клетке, $M_{ij}$ и $m_{ij}$ — максимальная и минимальная накопленные суммы. Тогда $M_{ij}=\max(M_{i-1,j},\,M_{i,j-1})+a_{ij}$ и $m_{ij}=\min(m_{i-1,j},\,m_{i,j-1})+a_{ij}$, причём соседняя клетка учитывается только тогда, когда между ней и текущей нет стены. Для левой верхней клетки $M_{11}=m_{11}=a_{11}$.

Отличие этой задачи в том, что маршрут заканчивается не обязательно в правой нижней клетке: конечной является любая клетка, у которой и справа, и снизу стена (или край поля). Поэтому нужно перебрать все такие клетки и взять наибольшую и наименьшую из накопленных в них сумм.

В приложенном файле поле имеет размер $20\times20$. Вертикальные стены (нельзя идти вправо) стоят:

• между 4-м и 5-м столбцами — в строках 12–16;
• между 7-м и 8-м столбцами — в строках 4–19;
• между 12-м и 13-м столбцами — в строках 2–11;
• между 17-м и 18-м столбцами — в строках 11–18;
• между 19-м и 20-м столбцами — в строках 5–10.

Горизонтальные стены (нельзя идти вниз) стоят между 4-й и 5-й строками в столбцах 16–19, между 11-й и 12-й строками в столбцах 10–12, между 16-й и 17-й строками в столбцах 2–4, между 18-й и 19-й строками в столбцах 13–17 и между 19-й и 20-й строками в столбцах 5–7.

Скопируем содержимое таблицы в текстовый файл 18.txt (числа разделены пробелами или знаками табуляции) и обработаем его программой.

f = open('18.txt')
a = [[int(x) for x in s.split()] for s in f]
N = len(a)

# стена снизу от клетки (i, j); строки и столбцы нумеруются с нуля
def wall_down(i, j):
    return ((i == 3 and 15 <= j <= 18) or (i == 10 and 9 <= j <= 11) or
            (i == 15 and 1 <= j <= 3) or (i == 17 and 12 <= j <= 16) or
            (i == 18 and 4 <= j <= 6))

# стена справа от клетки (i, j)
def wall_right(i, j):
    return ((j == 11 and 1 <= i <= 10) or (j == 6 and 3 <= i <= 18) or
            (j == 18 and 4 <= i <= 9) or (j == 16 and 10 <= i <= 17) or
            (j == 3 and 11 <= i <= 15))

MX = [[0] * N for i in range(N)]   # максимум, накопленный к клетке
MN = [[0] * N for i in range(N)]   # минимум
for i in range(N):
    for j in range(N):
        if i == 0 and j == 0:
            MX[i][j] = MN[i][j] = a[0][0]
            continue
        v = []
        if i > 0 and not wall_down(i - 1, j):
            v.append((MX[i - 1][j], MN[i - 1][j]))
        if j > 0 and not wall_right(i, j - 1):
            v.append((MX[i][j - 1], MN[i][j - 1]))
        MX[i][j] = max(x for x, y in v) + a[i][j]
        MN[i][j] = min(y for x, y in v) + a[i][j]

best_max = 0
best_min = 10 ** 9
for i in range(N):
    for j in range(N):
        # клетка конечная, если справа и снизу от неё стена (или край поля)
        if (j == N - 1 or wall_right(i, j)) and (i == N - 1 or wall_down(i, j)):
            best_max = max(best_max, MX[i][j])
            best_min = min(best_min, MN[i][j])
print(best_max, best_min)

Конечных клеток оказывается пять; накопленные в них суммы такие:

Конечная клетка (строка, столбец)	Максимум	Минимум
(11, 12)	1431	870
(16, 4)	1173	820
(18, 17)	2252	1369
(19, 7)	1566	947
(20, 20)	2255	1577

Наибольшая из всех итоговых сумм — 2255 (правая нижняя клетка), наименьшая — 820 (клетка в 16-й строке и 4-м столбце).

Ответ: 2255 820