Задание №23 — Поиск количества программ

Решение:

Все команды только увеличивают число на экране, поэтому траектория строго возрастает и ни одно число не может встретиться в ней дважды.

Траектория обязана содержать число $7$, поэтому каждая подходящая программа однозначно распадается на две части: $1 \to 7$ и $7 \to 30$. По правилу умножения ответ равен произведению количеств программ для этих участков.

Пусть $f(x, y)$ — количество программ, переводящих $x$ в $y$: $f(x, x) = 1$ (пустая программа), $f(x, y) = 0$ при $x \gt y$ (число уже «перескочило» цель, а уменьшать команды не умеют). В остальных случаях перебираем первую команду («прибавить 3», «прибавить 4» или «умножить на 3»):

$$f(x, y) = f(x + 3,\, y) + f(x + 4,\, y) + f(3x,\, y).$$

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def f(x, y):          # сколько программ переводят число x в число y
    if x == y:
        return 1
    if x > y:
        return 0      # перескочили - назад команд нет
    s = 0
    for z in (x + 3, x + 4, x * 3):
        s += f(z, y)
    return s

print(f(1, 7) * f(7, 30))

Получаем $f(1, 7) = 2$ и $f(7, 30) = 29$, то есть всего $2 \cdot 29 = 58$ программ. Ответ: 58