Задание №20 — Теория игр

#69468Задание №20ФИПИ

Теория игр

Условие игры

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 123 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было девять камней, во второй куче — S камней; $1 \leq S \leq 113 .$
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от дальнейшей игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Для игры, описанной выше, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Правильный ответ

52 56

Пояснение

Решение:

Напомним условия игры: перед игроками две кучи камней, за ход можно добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень либо увеличить количество камней в одной из куч вдвое; игра заканчивается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее $123$ . Начальная позиция — $(9,\ S)$ , первым ходит Петя.

Позицию будем оценивать с точки зрения игрока, который ходит из неё. Обозначим: В1 — из позиции можно выиграть первым же ходом; П1 — любой ход не заканчивает игру и переводит соперника в В1 (то есть ходящий проигрывает следующим ходом соперника); В2 — позиция не В1, но есть ход, переводящий соперника в П1, то есть ходящий выигрывает ровно вторым своим ходом при любой игре соперника.

$S = 52$ . Сразу Петя выиграть не может ( $9 + 2\cdot 52 = 113 \lt 123$ ). Петя удваивает первую кучу — получается позиция $(18,\ 52)$ , игра не окончена. Теперь любой ход Вани проигрышный:

$(19,\ 52)$ — Петя удваивает вторую кучу: $19 + 104 = 123$ ;
$(18,\ 53)$ — Петя удваивает вторую кучу: $18 + 106 = 124$ ;
$(36,\ 52)$ — Петя удваивает вторую кучу: $36 + 104 = 140$ ;
$(18,\ 104)$ — Петя добавляет камень: $18 + 105 = 123$ .

$S = 56$ . Сразу Петя выиграть не может ( $9 + 2\cdot 56 = 121 \lt 123$ ). Петя добавляет камень в первую кучу — получается позиция $(10,\ 56)$ , игра не окончена. Теперь любой ход Вани проигрышный:

$(11,\ 56)$ — Петя удваивает вторую кучу: $11 + 112 = 123$ ;
$(10,\ 57)$ — Петя удваивает вторую кучу: $10 + 114 = 124$ ;
$(20,\ 56)$ — Петя удваивает вторую кучу: $20 + 112 = 132$ ;
$(10,\ 112)$ — Петя добавляет камень: $10 + 113 = 123$ .

Полный перебор удобнее доверить программе:

N = 123

def moves(p):
    a, b = p
    return [(a + 1, b), (a, b + 1), (2 * a, b), (a, 2 * b)]

def over(p):                 # игра закончена
    return p[0] + p[1] >= N

def win1(p):                 # В1: выигрыш своим первым ходом
    return any(over(q) for q in moves(p))

def lose1(p):                # П1: любой ход отдаёт победу сопернику
    return all(not over(q) and win1(q) for q in moves(p))

def win2(p):                 # В2: выигрыш вторым ходом, но не первым
    return not win1(p) and any(not over(r) and lose1(r) for r in moves(p))

print(*[s for s in range(1, 114) if win2((9, s))][:2])   # два наименьших

Ответ: 52 56