Задание №19 — Теория игр

#69488Задание №19ФИПИ

Теория игр

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 101. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 101 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче — S камней; $1 \leq S \leq 93 .$
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от дальнейшей игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Позицию обозначаем (x, y). За один ход общее количество камней растёт либо на 1 (добавили камень), либо на x, либо на y (удвоили соответствующую кучу). Значит одним ходом можно прибавить не больше чем $\max(x,\,y,\,1)$ , и игрок заканчивает игру своим ходом тогда и только тогда, когда $x+y+\max(x,\,y,\,1) \ge 101$ .

Нам нужен неудачный ход Пети, после которого Ваня заканчивает игру. Иначе говоря, из позиции (7, S) за два хода (сначала Петя, потом Ваня) должно набираться не менее 101 камней. Больше всего даёт двукратное удвоение большей кучи: (7, S) → (7, 2S) → (7, 4S), всего $7+4S$ камней; любая другая пара ходов даёт меньше — например, (7, S+1) → (7, 2S+2) даёт лишь $7+2S+2$ , а (7+1, S) → (7+1, 2S) даёт $7+1+2S$ .

Условие $7+4S \ge 101$ равносильно $S \ge \frac{101-7}{4} = 23{,}5$ , поэтому минимальное подходящее значение $S = 24$ .

Проверим его. Сам Петя выиграть не может: удвоив большую кучу, он получит $7+2\cdot24 = 55$ камней, а это меньше 101. Но если он удвоит вторую кучу, возникнет позиция (7, 48); тогда Ваня удваивает её ещё раз, получает (7, 96), то есть 103 камней — не меньше 101, и Ваня выигрывает своим первым ходом.

Проверка перебором:

N = 101
A = 7                            # камней в первой куче

def moves(p):
    x, y = p
    return [(x + 1, y), (2 * x, y), (x, y + 1), (x, 2 * y)]

def win1(p):                      # ходящий выигрывает первым же ходом
    return any(x + y >= N for x, y in moves(p))

for s in range(1, 94):
    p = (A, s)
    # сам Петя выиграть не может, но неудачным ходом дарит победу Ване
    if not win1(p) and any(win1(q) for q in moves(p)):
        print(s)                  # 24
        break

Ответ: 24