Задание №23 — Поиск количества программ

Решение:

Все команды только увеличивают число на экране, поэтому траектория строго возрастает и ни одно число не может встретиться в ней дважды.

Траектория обязана содержать число $11$, поэтому каждая подходящая программа однозначно распадается на две части: $4 \to 11$ и $11 \to 28$. По правилу умножения ответ равен произведению количеств программ для этих участков.

Пусть $f(x, y)$ — количество программ, переводящих $x$ в $y$: $f(x, x) = 1$ (пустая программа), $f(x, y) = 0$ при $x \gt y$ (число уже «перескочило» цель, а уменьшать команды не умеют). В остальных случаях перебираем первую команду («прибавить 1», «прибавить 4» или «умножить на 2»):

$$f(x, y) = f(x + 1,\, y) + f(x + 4,\, y) + f(2x,\, y).$$

Число $18$ траектория содержать не должна, поэтому переход в него запрещаем — соответствующее слагаемое отбрасываем.

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def f(x, y):          # сколько программ переводят число x в число y
    if x == y:
        return 1
    if x > y:
        return 0      # перескочили - назад команд нет
    s = 0
    for z in (x + 1, x + 4, x * 2):
        if z != 18:
            s += f(z, y)
    return s

print(f(4, 11) * f(11, 28))

Получаем $f(4, 11) = 7$ и $f(11, 28) = 69$, то есть всего $7 \cdot 69 = 483$ программ. Ответ: 483