Задание №27 — Оптимальный алгоритм для большого количества данных

Решение:

Сначала забудем про делимость и возьмём из каждой пары большее число. Полученная сумма $S$ — наибольшая из всех возможных, поэтому если она не делится на 35, то она и есть ответ.

Пусть $S$ делится на 35. Тогда в некоторых парах придётся взять меньшее число. Замена в паре $(a,b)$ уменьшает сумму ровно на $d=|a-b|$, а замены в нескольких парах — на сумму соответствующих разностей. Итоговая сумма $S-\sum d$ не делится на 35 тогда и только тогда, когда $\sum d$ не кратна 35 (ведь само $S$ кратно 35). Но если бы все слагаемые в $\sum d$ были кратны 35, то и вся сумма была бы кратна 35; значит, хотя бы одна разность $d$ не кратна 35, и потому $\sum d \ge d_{\min}$, где $d_{\min}$ — наименьшая положительная разность, не кратная 35. Эта оценка достижима: достаточно поменять выбор в одной-единственной паре. Итак, ответ равен $S$, если $S$ не делится на 35, и $S-d_{\min}$ иначе.

Алгоритм линейный: один проход по файлу, в котором накапливаются $S$ и $d_{\min}$.

def solve(name, m):
    f = open(name)
    n = int(f.readline())
    s = 0                       # сумма больших чисел из каждой пары
    best = 10**9                # минимальная «допустимая» разность
    for _ in range(n):
        a, b = map(int, f.readline().split())
        s += max(a, b)
        d = abs(a - b)
        if d > 0 and d % m != 0:
            best = min(best, d)
    if s % m != 0:
        return s
    return s - best

print(solve('A.txt', 35), solve('B.txt', 35))

Файл A: сумма больших чисел равна $665848$; она даёт остаток $8$ при делении на 35, то есть уже не делится на 35 — уменьшать ничего не нужно, ответ $665848$.Файл B: сумма больших чисел равна $665535990$ и делится на 35. Наименьшая ненулевая разность внутри пары, не кратная 35, равна $1653$, поэтому ответ $665535990 - 1653 = 665534337$.Ответ: 665848 665534337