Задание №12 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи проанализируем, как изменение радиуса орбиты влияет на физические характеристики движения космического корабля.

1. Сила тяготения.
Согласно закону всемирного тяготения, сила $F$, с которой Земля притягивает корабль, определяется формулой:
$F = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}$,
где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса корабля, $r$ — расстояние от центра Земли до корабля (радиус орбиты).
Из формулы видно, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату радиуса. При переходе на орбиту большего радиуса ($r$ увеличивается) знаменатель дроби растёт, следовательно, сила тяготения уменьшается. Это соответствует цифре 2.

2. Период обращения.
Для движения по круговой орбите центростремительное ускорение кораблю сообщает сила тяготения. По второму закону Ньютона:
$m \cdot a_c = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}$.
Так как $a_c = \frac{v^2}{r}$, получаем выражение для орбитальной скорости: $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$. Видно, что при увеличении радиуса скорость $v$ уменьшается.
Период обращения $T$ — это время одного полного круга по орбите длиной $2 \cdot \pi \cdot r$:
$T = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{v}$.
Подставим выражение для скорости: $T = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}}$.
Из полученной формулы (которая также является следствием третьего закона Кеплера) следует, что при увеличении радиуса орбиты $r$ период обращения $T$ увеличивается. Это соответствует цифре 1.

Таким образом, сила тяготения уменьшилась (2), а период обращения увеличился (1).

Ответ: 21

Источник: ФИПИ