тема 9 из 9

Физический смысл производной

Если точка движется по закону $x(t)$ , её скорость — производная координаты: $v(t) = x'(t)$ . Ускорение — производная скорости: $a(t) = v'(t)$ . Чтобы найти скорость в момент $t_0$ , продифференцируйте $x(t)$ и подставьте $t_0$ .

Реже

Встречается реже, чем в 1 из 10 заданий №9

На карте навыков

Физический смысл производной
—В аналитике

Скорость и ускорение

$v(t) = x'(t)$ , $a(t) = v'(t)$ .

Скорость в момент $t_0$ : найдите $x'(t)$ , затем подставьте $t_0$ . В саму функцию $x(t)$ время не подставляют: это координата, а не скорость.
Момент, когда скорость равна $v_0$ : решите уравнение $x'(t) = v_0$ . Отрицательные корни отбросьте: время отсчитывают от начала движения.
Точка останавливается, когда $v(t) = 0$ . На графике координаты это вершины; начало и конец движения не считают.

Хватит трёх формул: $c' = 0$ , $(kt + b)' = k$ , $(t^n)' = n t^{n-1}$ . Производная суммы равна сумме производных. Остальные формулы — в таблице производных.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x ( t ) = \frac{1}{2} t^{2} + 4 t + 27 ,$ где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t = 2 с .$

Когда скорость равна заданной. Точка движется по закону $x(t) = t^2 - 13t + 23$ . Скорость равна 3 м/с, когда $x'(t) = 2t - 13 = 3$ , то есть при $t = 8$ с.

Ускорение. Для $x(t) = t^3 - 2t$ : $v(t) = 3t^2 - 2$ , $a(t) = 6t$ . При $t = 2$ ускорение равно 12 м/с².

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать