тема 2 из 9

Таблица производных и правила дифференцирования

Производную функции собирают из производных её частей по таблице и правилам дифференцирования. Таблицу и правила нужно знать наизусть: на них опираются задачи о скорости, касательной и исследовании функции.

Основа

Нужна для всех правил задания №9

На карте навыков

Таблица производных
—В аналитике

Как найти производную

Разбейте функцию на простые части. Производную каждой части возьмите из таблицы, потом соедините части по правилам.

Корень и дробь с $x^k$ в знаменателе запишите как степень: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ , $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$ , $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ . Потом примените формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$ .
Производная произведения не равна произведению производных.

Производные элементарных функций

Функция	Производная
$c$ — число	$0$
$x^n$ , $n$ — любое число	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$ , $x > 0$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$
$a^x$ , $a > 0$	$a^x \ln a$
$\log_a x$ , $a > 0$ , $a \ne 1$ , $x > 0$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\operatorname{ctg} x$	$-\frac{1}{\sin^2 x}$

Правила дифференцирования

Правило	Пример
$(c \cdot f)' = c \cdot f'$	$(5x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$
$(f \pm g)' = f' \pm g'$	$(x^2 - 4x + 7)' = 2x - 4$
$(f \cdot g)' = f' g + f g'$	$((x - 8)e^{x - 7})' = e^{x - 7} + (x - 8)e^{x - 7} = (x - 7)e^{x - 7}$
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$	$\left(\frac{x}{x + 1}\right)' = \frac{(x + 1) - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$
$(f(kx + b))' = k \cdot f'(kx + b)$	$(e^{3x - 1})' = 3e^{3x - 1}$
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	$(\ln(x^2 + 1))' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать