Знак производной по графику функции
Знак производной показывает, куда идёт график функции. Где функция возрастает, ; где убывает, ; в вершинах гладкого графика .
Часто
Встречается в 2 из 10 заданий №9
Как узнать знак f′ в точке
Посмотрите, как идёт график функции через эту точку слева направо.
- График поднимается — функция возрастает, .
- График опускается — функция убывает, .
- Точка в вершине графика, на «горке» или в «яме»: касательная горизонтальна, . Такую точку не считают ни среди точек, где , ни среди точек, где .
Пример задания
Открытый банк ФИПИ
На рисунке изображен график функции На оси абсцисс отмечено десять точек: Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции положительна.
Сколько точек, где f′(x) = 0. Вопрос звучит по-разному: «количество точек, в которых производная равна 0», «количество корней уравнения », «касательная параллельна оси абсцисс». Ответ во всех случаях — число вершин графика функции на нужном отрезке. Функция в задании дифференцируема, поэтому каждая «горка» и «яма» — вершина, даже если на рисунке она узкая и выглядит острой.
Пример задания
Открытый банк ФИПИ
Где производная больше. Иногда спрашивают, в какой из отмеченных точек наибольшая или наименьшая. Сначала разделите точки по знаку: там, где график опускается, производная отрицательна и меньше любой положительной. Среди точек подъёма производная больше там, где подъём круче. Среди точек спуска производная меньше там, где спуск круче.
Наименьшее значение производной — не «ближе всего к нулю», а точка самого крутого спуска, если среди точек есть спуски. В ответ пишут абсциссу точки.
Целые точки. Если спрашивают, в скольких целых точках , считайте целые на участках подъёма. Абсциссы вершин не берите: в них .
Проверьте себя
00