Точки максимума и минимума

Пример

Найдите точки экстремума функции $f(x) = x - 3\sqrt[3]{x^2}$.

1. 1.Область определения — все числа: кубический корень есть у любого числа.
2. 2.$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$, поэтому $f'(x) = 1 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$.
3. 3.$f'(x) = 0$ при $\sqrt[3]{x} = 2$, то есть при $x = 8$. При $x = 0$ производная не существует, а функция определена: $f(0) = 0$. Критические точки — 0 и 8.
4. 4.При $x < 0$ дробь $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ отрицательна, поэтому $f'(x) > 0$. При $0 < x < 8$ имеем $\sqrt[3]{x} < 2$, дробь больше 1, $f'(x) < 0$. При $x > 8$ дробь меньше 1, $f'(x) > 0$.
5. 5.В точке 0 знак меняется с «+» на «−», в точке 8 — с «−» на «+».

Ответ: $x = 0$ — точка максимума, $x = 8$ — точка минимума

Пример

Найдите точки экстремума функции $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5$.

1. 1.$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 = 12x^2(x - 2)$.
2. 2.$f'(x) = 0$ при $x = 0$ и $x = 2$.
3. 3.$12x^2 \ge 0$, поэтому знак $f'$ — знак множителя $x - 2$: «−» на $(-\infty; 0)$, «−» на $(0; 2)$, «+» на $(2; +\infty)$.
4. 4.В точке 0 знак не меняется: экстремума нет. В точке 2 знак меняется с «−» на «+»: это точка минимума.

Ответ: $x = 2$ — точка минимума, точки максимума нет

Пример

Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 48x + 17$.

1. 1.$y' = 3x^2 - 48 = 3(x - 4)(x + 4)$.
2. 2.$y' = 0$ при $x = -4$ и $x = 4$.
3. 3.Знаки $y'$: «+» на $(-\infty; -4)$, «−» на $(-4; 4)$, «+» на $(4; +\infty)$.
4. 4.В точке $-4$ знак меняется с «+» на «−»: это точка максимума. Точка 4 — точка минимума, она не подходит.

Ответ: $-4$

Пример

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$.

1. 1.$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$.
2. 2.$f'(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 3$.
3. 3.Знаки $f'$: «+» на $(-\infty; -1)$, «−» на $(-1; 3)$, «+» на $(3; +\infty)$.

Ответ: возрастает на $(-\infty; -1]$ и на $[3; +\infty)$, убывает на $[-1; 3]$