Исследование дробно-рациональной функции

Для $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ при $a > 0$ и $b > 0$ производная $f'(x) = a - \frac{b}{x^2} = \frac{ax^2 - b}{x^2}$. На луче $x > 0$ числитель равен нулю в точке $x_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}$, левее отрицателен, правее положителен. Значит, $x_0$ — точка минимума, а $f(x_0) = 2\sqrt{ab}$ — наименьшее значение на луче. В такой вид приводится расход на километр пути или на одну деталь (расход на единицу). Тот же минимум без производной даёт неравенство о среднем.

Если область — все $x \ne 0$, критических точек две: $-x_0$ и $x_0$. На луче $x < 0$ знак $f'$ меняется с плюса на минус, поэтому $-x_0$ — точка максимума. Но значение в ней $-2\sqrt{ab}$ меньше, чем значение $2\sqrt{ab}$ в точке минимума. Максимум — наибольшее значение только рядом с точкой, а не на всей области (максимум и наибольшее значение).

Площадь бака или коробки заданного объёма приводится к виду $f(x) = ax^2 + \frac{b}{x}$, $x > 0$ (размеры тела через одну переменную). Производная $f'(x) = 2ax - \frac{b}{x^2} = \frac{2ax^3 - b}{x^2}$. Числитель возрастает вместе с $x$ и равен нулю при $x_0 = \sqrt[3]{\frac{b}{2a}}$: левее он отрицателен, правее положителен. Значит, $x_0$ — точка минимума.

В решении знак числителя показывают разностью кубов: $x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x_0x + x_0^2)$. При $x > 0$ вторая скобка положительна, и знак $f'$ — знак $x - x_0$.

Для $f = \frac{P}{Q}$ производная $f' = \frac{P'Q - PQ'}{Q^2}$ (правило частного). Знаменатель $Q^2$ положителен везде, где $Q \ne 0$, поэтому знак $f'$ — знак числителя $P'Q - PQ'$. Раскройте скобки в числителе и приведите подобные, а потом разложите на множители: старшие степени часто сокращаются. Если $Q = (x + a)^2$, то $Q' = 2(x + a)$, и числитель делится на $x + a$. Сократите дробь: в знаменателе останется $(x + a)^3$.

Если в задаче даны две формулы, сначала подставьте одну в другую (формулы условия). Получится одна дробь от одной переменной. Сумму дробей приведите к общему знаменателю или сравните дроби, как в задаче о точке между источниками.

Наблюдатель стоит на расстоянии $x$ от стены и видит её участок от высоты $a$ до высоты $b$ над уровнем глаз, $b > a > 0$. Лучи на края участка образуют с горизонталью углы $\alpha$ и $\beta$: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{x}$, $\operatorname{tg}\beta = \frac{b}{x}$. Оба тангенса положительны и $\operatorname{tg}\alpha < \operatorname{tg}\beta$, поэтому $0^\circ < \alpha < \beta < 90^\circ$. Угол обзора $\varphi = \beta - \alpha$ тоже острый.

Формула тангенса разности: $\operatorname{tg}(\beta - \alpha) = \frac{\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}\beta \operatorname{tg}\alpha}$. Она верна, когда углы $\alpha$, $\beta$ и $\beta - \alpha$ не равны $90^\circ + 180^\circ k$. Здесь все три угла острые, поэтому $\operatorname{tg}\varphi = \frac{\frac{b}{x} - \frac{a}{x}}{1 + \frac{ab}{x^2}} = \frac{(b - a)x}{x^2 + ab}$.

На промежутке $(0^\circ; 90^\circ)$ тангенс возрастает. Поэтому угол $\varphi$ наибольший там же, где наибольший $\operatorname{tg}\varphi$: исследуйте дробь $\frac{(b - a)x}{x^2 + ab}$ при $x > 0$.