тема 9 из 19

Исследование функции с корнем

Если в функции есть корень, сначала запишите область: под корнем стоит неотрицательное число. Производная $\sqrt{u}$ равна $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , и её знак — знак $u'$ . Поэтому корень наибольший и наименьший там же, где подкоренное выражение. Если корень — слагаемое, знак производной находят сравнением квадратов двух неотрицательных чисел.

Часто в задании17На карте навыков

Исследование функций со степенью 3/2 и корнем
—В аналитике

Корень меняется так же, как подкоренное выражение

Для $f(x) = \sqrt{u(x)}$ производная $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ там, где $u(x) > 0$ .

Запишите область: $u(x) \ge 0$ , плюс условия задачи.
$2\sqrt{u} > 0$ , поэтому знак $f'$ — знак $u'$ : корень наибольший и наименьший там же, где $u$ .
Если корень — слагаемое, приведите $f'$ к одной дроби. Знак числителя $A - B$ при $A \ge 0$ и $B \ge 0$ — знак разности квадратов $A^2 - B^2$ .
$\sqrt{x}$ и $x\sqrt{x}$ запишите как степени $x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ (корень как степень).

Корень из функции

Производная корня — по правилу сложной функции (правила дифференцирования): $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$ . Знаменатель $2\sqrt{u}$ положителен там, где $u > 0$ . Поэтому $\sqrt{u}$ возрастает там, где возрастает $u$ , и убывает там, где убывает $u$ : точки максимума и минимума у них общие.

Если $u$ — квадратный трёхчлен, его экстремум — в вершине параболы. Проверьте, что вершина лежит в области, то есть $u > 0$ в ней.

Пример

Найдите точку максимума функции $y = \sqrt{-x^2 + 6x + 7}$ .

1.Область: $-x^2 + 6x + 7 \ge 0$ , то есть $-(x - 7)(x + 1) \ge 0$ , $-1 \le x \le 7$ .
2. $y' = \frac{-2x + 6}{2\sqrt{-x^2 + 6x + 7}} = \frac{3 - x}{\sqrt{-x^2 + 6x + 7}}$ на $(-1; 7)$ .
3.Знак $y'$ — знак $3 - x$ : $y' > 0$ на $(-1; 3)$ и $y' < 0$ на $(3; 7)$ .
4.Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому $x = 3$ — точка максимума.

Ответ: $3$

Наименьшее расстояние

Расстояние между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — корень из суммы квадратов: $\rho = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Корень возрастает, поэтому расстояние наименьшее там же, где наименьший его квадрат $\rho^2$ . Исследуйте подкоренное выражение без корня: его производная проще. Для двух точек, которые движутся равномерно, $\rho^2$ — квадратичная функция времени (квадрат расстояния).

Дорога и прямой путь

f(x) = 4(10 - x) + 5\sqrt{x^2 + 9}

AM = 9,\ MB = \sqrt{10} \approx 3{,}16,\ f(1) \approx 51{,}81

f'(1) \approx -2{,}42 < 0

: стоимость падает, если увеличивать

x

x_0 = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{5^2 - 4^2}} = 4,\quad f(4) = 49

Груз идёт по дороге от

A

до

M

, потом напрямую до

B

;

x = MC

. Километр дороги стоит 4, километр прямого пути — 5. Двигайте точку

M

и следите за точкой на графике стоимости.

Корень — слагаемое: сравните квадраты

Стоимость пути из двух частей — $f(x) = p(L - x) + q\sqrt{x^2 + h^2}$ , $0 \le x \le L$ (путь из двух частей). Её производная $f'(x) = -p + \frac{qx}{\sqrt{x^2 + h^2}} = \frac{qx - p\sqrt{x^2 + h^2}}{\sqrt{x^2 + h^2}}$ . Знаменатель положителен, поэтому знак $f'$ — знак числителя.

Оба числа $qx$ и $p\sqrt{x^2 + h^2}$ неотрицательны, а из двух неотрицательных чисел больше то, у которого больше квадрат. Поэтому знак числителя — знак $q^2x^2 - p^2(x^2 + h^2) = (q^2 - p^2)x^2 - p^2h^2$ . При $q > p$ он отрицателен левее $x_0 = \frac{ph}{\sqrt{q^2 - p^2}}$ и положителен правее: $x_0$ — точка минимума. Если $x_0 > L$ , функция убывает на всём отрезке, и наименьшее значение — при $x = L$ .

Пример

Найдите наименьшее значение функции $y = 13\sqrt{x^2 + 25} - 12x$ на отрезке $[0; 20]$ .

1. $y' = \frac{13x}{\sqrt{x^2 + 25}} - 12 = \frac{13x - 12\sqrt{x^2 + 25}}{\sqrt{x^2 + 25}}$ . Знаменатель положителен, поэтому знак $y'$ — знак числителя.
2.На отрезке $13x \ge 0$ и $12\sqrt{x^2 + 25} > 0$ , поэтому знак числителя — знак разности квадратов: $169x^2 - 144(x^2 + 25) = 25x^2 - 3600 = 25(x - 12)(x + 12)$ .
3.При $x \ge 0$ знак — знак $x - 12$ : $y' < 0$ на $[0; 12)$ и $y' > 0$ на $(12; 20]$ .
4.Функция убывает на $[0; 12]$ и возрастает на $[12; 20]$ , поэтому наименьшее значение — $y(12) = 13 \cdot 13 - 144 = 25$ .

Ответ: $25$

Корень в знаменателе: ищите наименьшее подкоренное

Дробь с постоянным положительным числителем наибольшая там, где наименьший знаменатель. Если знаменатель — корень, он наименьший там же, где наименьшее подкоренное выражение. Чтобы под корнем остался многочлен от одной буквы, разделите числитель и знаменатель на подходящую степень переменной и введите новую переменную.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2 - \tau^2\right)^2 + n\tau^2 T^2}},$ где $k = 0{,}91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0 = 9^{\circ}$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T = 14{,}7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n = 0{,}0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Решение

Разделите числитель и знаменатель на $\tau^2 > 0$ : $A = \frac{k\theta_0}{\sqrt{\left(\frac{T^2}{\tau^2} - 1\right)^2 + n\frac{T^2}{\tau^2}}}$ .
Пусть $s = \frac{T^2}{\tau^2}$ , $s > 0$ . Числитель $k\theta_0$ положителен, поэтому $A$ наибольшая там, где наименьшее подкоренное выражение $g(s) = (s - 1)^2 + ns$ .
$g'(s) = 2(s - 1) + n$ . $g'(s) = 0$ при $s_0 = 1 - \frac{n}{2} = 1 - 0{,}0396 = 0{,}9604$ .
$g' < 0$ при $0 < s < s_0$ и $g' > 0$ при $s > s_0$ : $g$ убывает, потом возрастает, и $g(s_0)$ — наименьшее значение. Значит, $A$ наибольшая при $s = s_0$ .
Каждому $s > 0$ соответствует одно $\tau = \frac{T}{\sqrt{s}}$ . При $s = s_0$ : $\tau = \frac{14{,}7}{\sqrt{0{,}9604}} = \frac{14{,}7}{0{,}98} = 15$ .
Ответ: 15 с.

Корень из x и x√x

Запишите $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$ . Тогда $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $(x\sqrt{x})' = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ . Функция определена при $x \ge 0$ . Уравнение $f'(x) = 0$ решите относительно $\sqrt{x}$ , а потом возведите в квадрат: из $\sqrt{x} = 2$ следует $x = 4$ .

Пример

Найдите наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} - 3x + 1$ на отрезке $[1; 9]$ .

1. $y = x^{\frac{3}{2}} - 3x + 1$ , $y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = \frac{3}{2}(\sqrt{x} - 2)$ .
2. $y' = 0$ при $\sqrt{x} = 2$ , то есть $x = 4$ . На $[1; 4)$ $\sqrt{x} < 2$ и $y' < 0$ , на $(4; 9]$ $y' > 0$ .
3.Функция убывает на $[1; 4]$ и возрастает на $[4; 9]$ , поэтому наименьшее значение — $y(4) = 4 \cdot 2 - 12 + 1 = -3$ (одна критическая точка).

Ответ: $-3$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать