Репет
Задание 9
тема 4 из 9

График производной

Когда на рисунке график y=f′(x)y = f'(x), а не график функции, важно не то, куда он идёт, а то, выше или ниже оси OxOx он лежит. Выше оси — функция ff возрастает, ниже — убывает. Где график производной пересекает ось, у функции экстремум: сверху вниз — максимум, снизу вверх — минимум.

Главное

Встречается в 4 из 10 заданий №9

На карте навыков

Что видно на графике f′

Знак f′(x)f'(x) — это сторона оси OxOx, где лежит график производной.

  • График f′f' выше оси: f′(x)>0f'(x) > 0, функция ff возрастает.
  • График f′f' ниже оси: f′(x)<0f'(x) < 0, функция ff убывает.
  • График f′f' пересекает ось сверху вниз, знак меняется с «+» на «−»: точка максимума функции ff.
  • График f′f' пересекает ось снизу вверх, знак меняется с «−» на «+»: точка минимума функции ff.
  • Точки экстремума — все точки максимума и минимума вместе. Точка экстремума — это абсцисса x0x_0, а экстремум — значение f(x0)f(x_0).
xy011+−++y = f′(x)maxmin
В точке −3-3 знак f′f' меняется с «+» на «−» — это точка максимума ff. В точке 22 — с «−» на «+», точка минимума. В точке 44 график касается оси, но знак не меняется: экстремума нет.

Вершины графика f′ — не экстремумы f. Самые высокие и самые низкие точки графика производной не дают ответа. Важны только точки, где график f′f' пересекает ось OxOx. Если график касается оси и уходит обратно, знак не меняется и экстремума нет: так ведёт себя f(x)=x3f(x) = x^3 в нуле, где f′(0)=0f'(0) = 0, но функция возрастает и слева, и справа.

Учитывайте отрезок из условия: точки вне его не считают.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображён график функции y=f′(x)y = f ' \left(x\right) - производной функции f(x),f \left(x\right) , определенной на интервале (−5;5).\left(- 5 ; 5\right) . Найдите точку минимума функции f(x).f \left(x\right) .

Отмеченные точки. Вопрос «сколько отмеченных точек принадлежит промежуткам возрастания ff» значит: сколько точек лежит там, где график f′f' выше оси. Для промежутков убывания — ниже оси. Растёт или падает сам график f′f', не важно.

Промежутки, целые точки, длина. Промежуток возрастания — участок, где f′(x)≥0f'(x) \ge 0. Его концы — точки, где f′f' меняет знак, их включают в промежуток. Концы интервала, на котором задана функция, не включают. Если f′f' только касается оси, промежуток в этой точке не разрывается. Длина промежутка — разность абсцисс его концов.

Целые точки промежутка — все целые xx от левого конца до правого; концы берут, если они входят в промежуток. Например, в [−3;2][-3; 2] целые точки −3,−2,−1,0,1,2-3, -2, -1, 0, 1, 2, их сумма равна −3-3.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображен график функции y=f′(x).y = f ' \left(x\right) . На оси абсцисс отмечено десять точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10.x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5} , x_{6} , x_{7} , x_{8} , x_{9} , x_{10} . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)f \left(x\right)?

Экстремумы по графику самой функции. Если нарисован график y=f(x)y = f(x), точки экстремума — абсциссы его вершин: на «горках» точки максимума, в «ямах» точки минимума. «Сумма точек экстремума» — сумма этих абсцисс, а не значений функции. Промежутки возрастания и убывания по графику ff — участки между соседними вершинами; длина промежутка — разность абсцисс его концов.

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать