тема 3 из 9

Геометрический смысл производной

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке: $f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha$ . Поэтому в самом частом варианте задания 9 ничего не дифференцируют: находят две точки касательной в узлах сетки и делят $\Delta y$ на $\Delta x$ .

Главное

Встречается в 3 из 10 заданий №9

На карте навыков

Геометрический смысл производной
—В аналитике

Производная в точке касания

$f'(x_0) = k$ , где $k$ — угловой коэффициент касательной к графику в точке $(x_0; f(x_0))$ .

Найдите на касательной две точки в узлах сетки. Берите точки прямой, а не кривой: у кривой нет одного наклона. Точка касания тоже подходит, если она в узле.
Вычислите $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , двигаясь слева направо. Касательная опускается — ответ отрицательный.
Касательная горизонтальна — $f'(x_0) = 0$ . Так бывает в вершинах графика.

Касательная проходит через узлы

(0; 1)

(4; 3)

f'(x_0) = \frac{3 - 1}{4 - 0} = 0{,}5

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображены график функции $y = f ( x )$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0} .$ Найдите значение производной функции $f ( x )$ в точке $x_{0} .$

Уравнение касательной к графику в точке $x_0$ : $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ . Касательная проходит через точку $(x_0; f(x_0))$ , и её угловой коэффициент равен $f'(x_0)$ .

Касательная через начало координат. Если касательная в точке $x_0$ проходит через точку $(0; 0)$ , её уравнение $y = kx$ , и точка касания лежит на ней. Поэтому $f'(x_0) = \frac{f(x_0)}{x_0}$ : например, при $x_0 = 8$ и $f(8) = 10$ получаем $f'(8) = 1{,}25$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать