тема 7 из 9

Касательная, параллельная прямой

Касательная параллельна прямой $y = kx + b$ или совпадает с ней, когда у них одинаковый угловой коэффициент: $f'(x_0) = k$ . Число $b$ роли не играет. Касательная параллельна оси $Ox$ , когда $f'(x_0) = 0$ .

Реже

Встречается реже, чем в 1 из 10 заданий №9

На карте навыков

Число касательных, параллельных данной прямой
—В аналитике

Касательная параллельна прямой y = kx + b

Касательная в точке $x_0$ параллельна прямой $y = kx + b$ или совпадает с ней тогда и только тогда, когда $f'(x_0) = k$ .

Прямая $y = c$ и ось $Ox$ горизонтальны, у них $k = 0$ . Ищут точки, где $f'(x) = 0$ .
На графике функции $f$ точки, где $f'(x) = 0$ , — это вершины. Считают вершины на нужном отрезке.
На графике производной точки, где $f'(x) = k$ , — это точки пересечения графика $f'$ с горизонтальной прямой $y = k$ . Считают точки пересечения.

Касательная параллельна прямой

y = x - 3

, когда

f'(x_0) = 1

. На графике

f'

это точки пересечения с прямой

y = 1

. Их пять, значит, таких касательных пять.

Без рисунка. «Прямая $y = 7x - 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 + 6x - 8$ . Найдите абсциссу точки касания.» Приравняйте производную к угловому коэффициенту: $2x_0 + 6 = 7$ , $x_0 = 0{,}5$ .

Прямая — сама касательная. Если прямая $y = kx + b$ касается графика в точке $x_0$ , выполняются два равенства: $f'(x_0) = k$ (наклоны равны) и $f(x_0) = kx_0 + b$ (у графика и прямой общая точка). Из первого находят кандидатов $x_0$ , вторым отбирают нужный.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать