тема 8 из 9

Первообразная и площадь под графиком

Функцию $F$ называют первообразной для $f$ , если $F'(x) = f(x)$ . Значит, $f$ — производная функции $F$ : по графику $F$ видно знак и нули функции $f$ . Если $f(x) \ge 0$ на $[a; b]$ , разность $F(b) - F(a)$ равна площади под графиком $f$ на этом отрезке; её считают по формуле $F$ или по клеткам.

Реже

Встречается в 1 из 10 заданий №9

На карте навыков

Первообразная и площадь под графиком функции
—В аналитике

Как связаны F и f

$F'(x) = f(x)$ . Все первообразные функции $f$ имеют вид $F(x) + C$ .

По графику F: $f(x) > 0$ там, где $F$ возрастает; $f(x) < 0$ там, где $F$ убывает; $f(x) = 0$ в вершинах графика $F$ .
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ . Константа $C$ сокращается, поэтому подходит любая первообразная.
Площадь: если $f(x) \ge 0$ на $[a; b]$ , фигура между графиком $f$ и осью $Ox$ от $a$ до $b$ имеет площадь $S = F(b) - F(a)$ .

На рисунке график F. Рассуждайте как со знаком производной: $f$ — производная функции $F$ . Число решений уравнения $f(x) = 0$ — это число вершин графика $F$ на отрезке, а не число его пересечений с осью. Значение $F$ в точке ничего не говорит о знаке $f$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображён график

y = F \left(x\right)

одной из первообразных некоторой функции

f \left(x\right) ,

определённой на интервале

( - 7 ; 8 ) .

Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения

f \left(x\right) = 0

на отрезке

[ 0 ; 5 \left]\right. .

Правильный ответ

Пояснение

$f(x) = F'(x)$ , поэтому $f(x) = 0$ в вершинах графика $F$ .
На отрезке $[0; 5]$ у графика $F$ одна вершина — максимум в точке $x = 3$ .
Пересечения графика с осью около 2 и 4 — нули самой функции $F$ , они не подходят. Ответ: 1.

Площадь под графиком на

[-1; 3]

— две трапеции, у каждой основания 2 и 4 и высота 2:

\frac{2 + 4}{2} \cdot 2 = 6

. Значит,

F(3) - F(-1) = 6 + 6 = 12

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображён график некоторой функции

y = f \left(x\right)

(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите

F ( - 1 ) - F ( - 9 ) ,

где

F \left(x\right)

- одна из первообразных функции

f \left(x\right) .

Правильный ответ

Пояснение

$F(-1) - F(-9)$ — площадь под графиком $f$ на отрезке $[-9; -1]$ : там график не ниже оси.
На $[-9; -5]$ — прямоугольник $4 \times 4$ , площадь 16.
На $[-5; -1]$ — прямоугольный треугольник с катетами 4 и 4, площадь 8.
$16 + 8 = 24$ . Ответ: 24.

Площадь по формуле F. Если дана формула первообразной, найдите границы фигуры $a$ и $b$ и вычислите $F(b) - F(a)$ . Границы часто — нули функции $f$ . Найдите $F'(x)$ по таблице производных и решите уравнение $F'(x) = 0$ , не полагаясь на рисунок.

Части под осью. Когда график $f$ на отрезке заходит под ось $Ox$ , разность $F(b) - F(a)$ равна площади над осью минус площадь под осью. Для фигуры целиком под осью площадь равна $F(a) - F(b)$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображён график некоторой функции

y = f \left(x\right) .

Функция

F ( x ) = - x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} - 6 x + 2

- одна из первообразных функции

f \left(x\right) .

Найдите площадь закрашенной фигуры.

Правильный ответ

0,5

Пояснение

$f(x) = F'(x) = -3x^2 - 9x - 6 = -3(x + 1)(x + 2)$ . Фигура лежит между нулями $-2$ и $-1$ .
$F(-1) = 1 - 4{,}5 + 6 + 2 = 4{,}5$ , $F(-2) = 8 - 18 + 12 + 2 = 4$ .
$S = F(-1) - F(-2) = 0{,}5$ . Ответ: 0,5.

Таблица первообразных

f(x)	F(x), к ней можно прибавить C
$k$	$kx$
$x^n$ , $n \ne -1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln\|x\|$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
$k \cdot f(x)$ , $f(x) + g(x)$	$k \cdot F(x)$ , $F(x) + G(x)$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать