тема 6 из 9

Наибольшее и наименьшее значение функции по графику производной

На отрезке функция принимает наибольшее и наименьшее значения либо в концах отрезка, либо в точках экстремума внутри него. По графику $f'$ видно, возрастает функция на отрезке или убывает, поэтому ответ находят без вычислений.

Реже

Встречается в 1 из 10 заданий №9

На карте навыков

Максимум по графику производной
—В аналитике

Где искать ответ на отрезке [a; b]

Посмотрите, по какую сторону оси лежит график $f'$ на отрезке $[a; b]$ , и примените правило знаков.

$f'(x) \le 0$ на отрезке (ноль — только в отдельных точках): $f$ убывает, наибольшее значение в точке $a$ , наименьшее — в точке $b$ .
$f'(x) \ge 0$ на отрезке (ноль — только в отдельных точках): $f$ возрастает, наибольшее значение в точке $b$ , наименьшее — в точке $a$ .
Знак $f'$ на отрезке меняется один раз — с «+» на «−» в точке $x_0$ : наибольшее значение в точке $x_0$ , это точка максимума.
Знак $f'$ на отрезке меняется один раз — с «−» на «+» в точке $x_0$ : наименьшее значение в точке $x_0$ , это точка минимума.

На отрезке

[-3; 2]

знак

f'

меняется с «+» на «−» в точке

-1

. Функция сначала возрастает, потом убывает, поэтому наибольшее значение на отрезке она принимает в точке

-1

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображён график $y = f ' ( x )$ – производной функции $f ( x ) ,$ определённой на интервале $( - 6 ; 5 ) .$ В какой точке отрезка $[ - 5 ; - 2 \left]\right.$ функция $f ( x )$ принимает наименьшее значение?

Правильный ответ

-5

Пояснение

На отрезке $[-5; -2]$ график $f'$ лежит не ниже оси $Ox$ : $f'(x) \ge 0$ .
Значит, $f$ на этом отрезке возрастает.
Наименьшее значение возрастающая функция принимает в левом конце, в точке $-5$ . Ответ: −5.

Ответ — точка, а не значение. Спрашивают, в какой точке функция принимает наибольшее значение. Пишут абсциссу, например $-5$ . Само значение $f(-5)$ по рисунку производной не найти.

Две смены знака. Если на отрезке знаки $f'$ идут «−», «+», «−», наибольшее значение — в левом конце или в точке максимума, а наименьшее — в точке минимума или в правом конце. Выбрать помогает условие задачи. Например, если $f(a) \le f(b)$ , наибольшее значение — в точке максимума: после неё функция убывает до $b$ , поэтому значение в точке максимума больше $f(b)$ , а $f(b) \ge f(a)$ .

Нарисован график самой функции. Тогда наибольшее значение функция принимает в самой высокой точке графика на отрезке; в ответ пишут абсциссу этой точки.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать