тема 4 из 8

Числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и направлением, и каждому числу на ней соответствует одна точка. Координату точки читают по цене деления шкалы. Дробь ставят на прямую через целую часть, а десятичные дроби расставляют по порядку слева направо.

Главная тема в задании7На карте навыков

Числа на координатной прямой
—В аналитике

Как найти число на координатной прямой

Координатная прямая задана, когда на ней выбраны начало отсчёта 0, единичный отрезок и направление. Число, которое соответствует точке, называют координатой точки.

Найдите на рисунке подписанные числа и цену деления.
Отрицательные числа лежат левее 0, положительные — правее. Чем правее точка, тем больше её координата.
У неправильной дроби выделите целую часть: она даёт два соседних целых числа, между которыми лежит точка.
Если на рисунке нет подписей, расставьте все числа по возрастанию: самое маленькое число — самая левая точка.

Начало отсчёта, единичный отрезок, направление

Начало отсчёта — точка 0. Единичный отрезок — расстояние от 0 до 1. Стрелка показывает положительное направление, обычно вправо. Точка, которая стоит на $n$ единичных отрезков правее 0, имеет координату $n$ , а точка на $n$ единичных отрезков левее 0 — координату $-n$ . Запись $A(-4)$ значит: координата точки $A$ равна $-4$ .

Пример

На прямой подписаны 0 и 1, соседние штрихи стоят через единичный отрезок. Точка $A$ стоит на 4 штриха левее 0, точка $B$ — на 6 штрихов правее 0. Найдите координаты точек.

1.Точка $A$ стоит на 4 единичных отрезка левее 0, её координата отрицательная: $-4$ .
2.Точка $B$ стоит на 6 единичных отрезков правее 0, её координата $6$ .

Ответ: $A(-4)$ , $B(6)$

Цена деления

Цена деления — число, которое соответствует одному делению шкалы. Возьмите два подписанных штриха, из большего числа вычтите меньшее и разделите на число делений между ними. Координата точки равна подписанному числу слева от неё плюс цена деления, умноженная на число делений до точки.

Между 0 и 1 часто стоит 10 делений. Тогда цена деления равна $0{,}1$ , и каждое деление — это одна десятая.

Пример

На шкале подписаны числа 2 и 4, между ними 10 делений. Точка $A$ стоит на третьем штрихе правее 2. Найдите координату точки $A$ .

1.Цена деления: $(4 - 2) : 10 = 0{,}2$ .
2.От 2 до $A$ три деления: $A = 2 + 3 \cdot 0{,}2 = 2{,}6$ .

Ответ: $2{,}6$

Прямая под лупой

A = -0{,}031

Цена деления

1

. Точка

A

между

-1

0

Двигайте точку

A

мышью, пальцем или стрелками. Выберите цену деления: каждое следующее деление в 10 раз мельче. Так видно, какой отрезок прямой задаёт каждая цифра после запятой.

Обыкновенная дробь на прямой

Выделите целую часть: разделите числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное — целая часть, остаток — числитель дробной части: $\frac{47}{9} = 5\frac{2}{9}$ , потому что $47 = 9 \cdot 5 + 2$ . Точка лежит между целой частью и следующим целым числом: $5 < \frac{47}{9} < 6$ .

Дробная часть показывает, к какому концу точка ближе. Сравните её с половиной: если остаток меньше половины знаменателя, точка ближе к левому целому числу, если больше — к правому. Остаток 2 меньше $4{,}5$ , поэтому $\frac{47}{9}$ ближе к 5.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Одно из чисел $\frac{55}{19}$ , $\frac{64}{19}$ , $\frac{72}{19}$ и $\frac{79}{19}$ отмечено на числовой прямой точкой A.

Какое это число?

\frac{55}{19}

\frac{64}{19}

\frac{72}{19}

\frac{79}{19}

Правильный ответ

Пояснение

На рисунке подписаны 0 и 1, одно деление равно 1. Точка $A$ лежит между 3 и 4, ближе к 3.
$55 = 19 \cdot 2 + 17$ , поэтому $\frac{55}{19} = 2\frac{17}{19}$ : между 2 и 3. Не подходит.
$64 = 19 \cdot 3 + 7$ , поэтому $\frac{64}{19} = 3\frac{7}{19}$ : между 3 и 4. Остаток 7 меньше половины от 19, точка ближе к 3.
$72 = 19 \cdot 3 + 15$ , поэтому $\frac{72}{19} = 3\frac{15}{19}$ : тоже между 3 и 4, но ближе к 4. Не подходит.
$79 = 19 \cdot 4 + 3$ : число $\frac{79}{19}$ лежит между 4 и 5. Не подходит.
Ответ: 2.

Дробь на прямой

A = \frac{47}{9} = 5\frac{2}{9} \approx 5{,}22

q

9

47 : 9 = 5

, остаток 2: точка

A

между

5

6

, через 2 из 9 частей от

5

Двигайте точку

A

по прямой или по увеличенному отрезку внизу. Ползунок

q

делит единичный отрезок на

q

равных частей. Над прямой видно целую часть дроби и остаток.

Десятичные дроби на прямой

Если на рисунке нет подписей, точки ставят по порядку чисел: самое маленькое число — самая левая точка. Сначала разделите числа по знаку: отрицательные левее 0, положительные правее. Положительные дроби сравните по разрядам. Из двух отрицательных чисел левее то, у которого модуль больше.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На координатной прямой точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ соответствуют числам

$0,1032$ ; $- 0,031$ ; $- 0,01$ ; $- 0,104$ .

Какой точке соответствует число $- 0,031$ ?

A

B

C

D

Правильный ответ

Пояснение

Точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ идут на прямой слева направо, поэтому числа надо расставить по возрастанию.
Положительное число одно: $0{,}1032$ . Оно самое большое, это точка $D$ .
Модули отрицательных чисел: $0{,}031$ , $0{,}01$ , $0{,}104$ . Допишите нули до трёх знаков: $0{,}031$ , $0{,}010$ , $0{,}104$ . По порядку: $0{,}010 < 0{,}031 < 0{,}104$ .
Больше модуль — меньше число: $-0{,}104 < -0{,}031 < -0{,}01$ . Это точки $A$ , $B$ , $C$ .
Число $-0{,}031$ — точка $B$ . Ответ: 2.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать