Репет
Задание 6
тема 7 из 10

Сравнение чисел

Любое положительное число больше нуля, а нуль больше любого отрицательного; из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Десятичные дроби сравнивают по разрядам слева направо. Обыкновенные дроби приводят к общему знаменателю, переводят в десятичные или сравнивают с половиной и с единицей.

Основа для задания7Реже в заданиях12356На карте навыков

Как сравнить два числа

Сначала сравните знаки чисел, потом их модули.

  • Любое положительное число больше нуля, нуль больше любого отрицательного числа.
  • Из двух положительных чисел больше то, у которого модуль больше. Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.
  • Десятичные дроби: сравните целые части, затем цифры после запятой по разрядам, начиная с десятых.
  • Обыкновенные дроби: приведите к общему знаменателю или переведите в десятичные.
  • Если дроби трудно сравнить прямо, сравните каждую с 12\frac{1}{2} или с 1.

Отрицательные числа

На координатной прямой большее число лежит правее. Отрицательные числа лежат левее 0, поэтому каждое из них меньше 0 и меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел левее то, которое дальше от нуля, то есть у которого больше модуль. Поэтому −7<−3-7 < -3: ∣−7∣=7|-7| = 7, а ∣−3∣=3|-3| = 3.

Пример

Расположите числа в порядке возрастания: −2,5-2{,}5; 0,30{,}3; −0,8-0{,}8; 00.

  1. 1.Отрицательные числа: −2,5-2{,}5 и −0,8-0{,}8. У −2,5-2{,}5 модуль больше, поэтому −2,5<−0,8-2{,}5 < -0{,}8.
  2. 2.Дальше идёт 0, затем положительное число 0,30{,}3.

Ответ: −2,5; −0,8; 0; 0,3-2{,}5;\ -0{,}8;\ 0;\ 0{,}3

Порядок и модули

a=−3,5,b=−1a = -3{,}5,\quad b = -1
−5−4−3−2−1012345ba
a<ba < b
∣a∣>∣b∣:  3,5>1|a| > |b|:\ \ 3{,}5 > 1
Двигайте числа aa и bb. У двух положительных чисел знаки сравнения в обеих строках одинаковы. У двух отрицательных они противоположны.

Десятичные дроби

Сначала сравните целые части: больше та дробь, у которой целая часть больше. Если целые части равны, допишите справа нули, чтобы после запятой было одинаковое число цифр. От этого значение дроби не меняется: 0,01=0,0100{,}01 = 0{,}010.

Затем сравните цифры по разрядам слева направо: десятые, сотые, тысячные. Решает первая цифра, которая не совпала: больше та дробь, у которой эта цифра больше. Длина записи значения не имеет: 0,1032>0,0310{,}1032 > 0{,}031, потому что уже в разряде десятых 1>01 > 0.

Пример

Сравните 0,0310{,}031 и 0,1040{,}104, а затем −0,031-0{,}031 и −0,104-0{,}104.

  1. 1.Целые части равны 0. В разряде десятых цифры 0 и 1, 0<10 < 1. Поэтому 0,031<0,1040{,}031 < 0{,}104.
  2. 2.У отрицательных чисел наоборот: модуль 0,1040{,}104 больше, поэтому −0,104<−0,031-0{,}104 < -0{,}031.

Ответ: 0,031<0,1040{,}031 < 0{,}104; −0,104<−0,031-0{,}104 < -0{,}031

Обыкновенные дроби

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше: 59>49\frac{5}{9} > \frac{4}{9}. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше: целое разделили на меньшее число частей, и каждая часть крупнее, 37>38\frac{3}{7} > \frac{3}{8}.

Если различаются и числители, и знаменатели, приведите дроби к общему знаменателю. Для двух дробей подходит произведение знаменателей. При положительных знаменателях ab<cd\frac{a}{b} < \frac{c}{d} тогда, когда ad<bcad < bc.

Пример

Сравните 813\frac{8}{13} и 58\frac{5}{8}.

  1. 1.Общий знаменатель 13⋅8=10413 \cdot 8 = 104: 813=64104\frac{8}{13} = \frac{64}{104}, 58=65104\frac{5}{8} = \frac{65}{104}.
  2. 2.64<6564 < 65, поэтому 813<58\frac{8}{13} < \frac{5}{8}.

Ответ: 813<58\frac{8}{13} < \frac{5}{8}

Перевод в десятичные дроби

Если дробей несколько или рядом стоят десятичные числа, переведите каждую дробь в десятичную: разделите числитель на знаменатель. Чтобы сравнить числа по разрядам, обычно хватает двух-трёх первых цифр.

Пример

Расположите числа в порядке возрастания: 23\frac{2}{3}; 0,650{,}65; 711\frac{7}{11}.

  1. 1.2:3=0,666…2 : 3 = 0{,}666\ldots, 7:11=0,636…7 : 11 = 0{,}636\ldots
  2. 2.По разрядам: 0,636…<0,650<0,666…0{,}636\ldots < 0{,}650 < 0{,}666\ldots

Ответ: 711; 0,65; 23\frac{7}{11};\ 0{,}65;\ \frac{2}{3}

Сравнение с половиной и с единицей

Если между дробями лежит удобное число, сравните каждую дробь с ним. Дробь больше 12\frac{1}{2}, если её числитель больше половины знаменателя: 59>12\frac{5}{9} > \frac{1}{2}, потому что 5>4,55 > 4{,}5. Правильная дробь меньше 1, неправильная больше 1 или равна 1.

Пример

Сравните 715\frac{7}{15} и 917\frac{9}{17}.

  1. 1.Половина от 15 равна 7,57{,}5, а 7<7,57 < 7{,}5. Поэтому 715<12\frac{7}{15} < \frac{1}{2}.
  2. 2.Половина от 17 равна 8,58{,}5, а 9>8,59 > 8{,}5. Поэтому 917>12\frac{9}{17} > \frac{1}{2}.

Ответ: 715<917\frac{7}{15} < \frac{9}{17}

Сколько не хватает до единицы

Две правильные дроби, которые близки к 1, удобно сравнить по недостатку до 1. Из двух дробей больше та, которой до 1 не хватает меньше. Недостаток — это разность 1−pq=q−pq1 - \frac{p}{q} = \frac{q - p}{q}.

Пример

Сравните 1719\frac{17}{19} и 1314\frac{13}{14}.

  1. 1.1−1719=2191 - \frac{17}{19} = \frac{2}{19}, 1−1314=114=2281 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14} = \frac{2}{28}.
  2. 2.Числители равны, у 219\frac{2}{19} знаменатель меньше, поэтому 219>228\frac{2}{19} > \frac{2}{28}.
  3. 3.Дроби 1719\frac{17}{19} не хватает до 1 больше, значит она меньше.

Ответ: 1719<1314\frac{17}{19} < \frac{13}{14}

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать