Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Ответ к заданию 6 — целое число или конечная десятичная дробь. Инструкция ФИПИ требует: если получилась обыкновенная дробь, запишите ответ в виде десятичной. В бланк ответов № 1 каждый символ пишут в отдельной клеточке, начиная с первой: минус, цифры и запятую.

Если дробь не переводится в конечную десятичную, например $\frac{1}{3}$, в решении есть ошибка.

Конечная десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000, а такие знаменатели раскладываются только на двойки и пятёрки: $100 = 2^2 \cdot 5^2$. Поэтому несократимая дробь равна конечной десятичной тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя нет простых множителей, кроме 2 и 5.

Проверяйте знаменатель только после сокращения: в $\frac{21}{30}$ множитель 3 сокращается, и $\frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0{,}7$.

Подберите дополнительный множитель, который превращает знаменатель в 10, 100 или 1000: к каждой двойке нужна пятёрка, к каждой пятёрке — двойка. Для $\frac{3}{4}$: $4 = 2 \cdot 2$, домножьте на $5 \cdot 5 = 25$ и получите $\frac{75}{100} = 0{,}75$. После запятой столько цифр, сколько нулей в знаменателе.

Эти дроби встречаются чаще других: $\frac{1}{2} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$, $\frac{1}{8} = 0{,}125$, $\frac{1}{20} = 0{,}05$, $\frac{1}{25} = 0{,}04$, $\frac{1}{50} = 0{,}02$.

Если множитель подобрать трудно, разделите числитель на знаменатель уголком. Когда целая часть разделена, поставьте в частном запятую. Дальше к каждому остатку сносите ноль и делите снова. Деление закончено, когда остаток равен 0.

Если в знаменателе несократимой дроби есть простой множитель, кроме 2 и 5, остаток при делении уголком никогда не станет нулём. Остатки меньше знаменателя, поэтому один из них обязательно повторится. С этого места повторяются и цифры частного.

Повторяющуюся группу цифр называют периодом и пишут в скобках: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$, $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$. Запись $0{,}8(3)$ читают «ноль целых восемь десятых и три в периоде».

Чтобы сравнить дробь с числами, вся десятичная запись не нужна. Делите уголком, пока не получите две-три цифры после запятой, и остановитесь. Эти цифры показывают, между какими десятыми или сотыми лежит дробь. Так находят промежуток с десятичными концами, которому принадлежит дробь.

Цифры после запятой запишите числителем, а знаменателем — единицу с таким числом нулей, сколько цифр после запятой. Затем сократите: $0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$. Целая часть становится целой частью смешанного числа: $2{,}4 = 2\frac{4}{10} = 2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$.

Так считают, когда в выражении есть и десятичная, и обыкновенная дробь, а обыкновенная не равна конечной десятичной: $0{,}75 \cdot \frac{4}{15} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2$.