тема 8 из 10

Модуль числа

Модуль числа — это расстояние от нуля до точки этого числа на координатной прямой, поэтому модуль не бывает отрицательным. Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному числу. Расстояние между точками $a$ и $b$ равно $|a - b|$ .

Основа для задания8Реже в заданиях6 7На карте навыков

Модуль числа

Модуль числа $a$ — расстояние от начала отсчёта до точки $a$ на координатной прямой. Модуль обозначают $|a|$ .

Если $a \ge 0$ , то $|a| = a$ .
Если $a < 0$ , то $|a| = -a$ : модуль отрицательного числа — то же число без минуса.
Модуль не бывает отрицательным. $|a| = 0$ только при $a = 0$ .
Противоположные числа имеют равные модули: $|-a| = |a|$ .
Расстояние между точками $A(a)$ и $B(b)$ равно $|a - b|$ .

Модуль как расстояние до нуля

Точки 5 и $-5$ стоят по разные стороны от 0 на одном расстоянии — 5 единичных отрезков. Поэтому $|5| = |-5| = 5$ . Такие числа называют противоположными: $a$ и $-a$ . Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного — противоположному числу: $|-2{,}7| = 2{,}7$ .

Пример

Найдите значение выражения $|-4{,}5| \cdot |2| - |-6|$ .

1. $|-4{,}5| = 4{,}5$ , $|2| = 2$ , $|-6| = 6$ .
2. $4{,}5 \cdot 2 - 6 = 9 - 6 = 3$ .

Ответ: $3$

Расстояние между точками

Расстояние между точками $A(a)$ и $B(b)$ — это длина отрезка $AB$ . Она равна $|a - b|$ : из большей координаты вычтите меньшую. Порядок точек не важен, потому что $|a - b| = |b - a|$ . Если точки лежат по разные стороны от 0, расстояние равно сумме их модулей: от $-5$ до 3 ровно $5 + 3 = 8$ единичных отрезков.

Пример

На координатной прямой отмечены точки $M(-6{,}5)$ и $N(-1{,}5)$ . Найдите расстояние между ними.

1.Вычитание отрицательного числа: $MN = |-6{,}5 - (-1{,}5)| = |-6{,}5 + 1{,}5| = |-5| = 5$ .
2.Проверка: $N$ правее, $-1{,}5 - (-6{,}5) = 5$ .

Ответ: $5$

Модуль и расстояние

a = -3,\quad b = 2

|a| = 3

|b| = 2

|a - b| = |-3 - 2| = 5

Двигайте числа

a

b

. Оранжевый отрезок — расстояние между ними, оно равно

|a - b|

. Поставьте

b

в 0: тогда расстояние равно

|a|

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать