Обыкновенные дроби

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, получится равная дробь: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$. Доли становятся мельче или крупнее, но дробь занимает ту же часть целого.

Разделить числитель и знаменатель на общий делитель — значит сократить дробь. Дробь несократима, если у числителя и знаменателя нет общего делителя больше 1. Если разделить на наибольший общий делитель, дробь сразу станет несократимой. Если НОД не видно, делите на общие множители по очереди: их подскажут признаки делимости.

Складывать и вычитать можно только доли одного размера. Поэтому дроби сначала приводят к общему знаменателю — числу, которое делится на оба знаменателя. Удобнее всего наименьший общий знаменатель, то есть НОК знаменателей. Чтобы его найти, перебирайте числа, кратные большему знаменателю, пока одно из них не разделится на меньший.

Дополнительный множитель дроби — это общий знаменатель, делённый на её знаменатель. На него умножают числитель и знаменатель дроби. Если больший знаменатель делится на меньший, он и есть общий знаменатель.

Числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Общий знаменатель здесь не нужен.

Сокращайте до умножения: любой числитель можно сократить с любым знаменателем. Так числа остаются маленькими. Целое число $n$ — это дробь $\frac{n}{1}$: $n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}$.

Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей дробь, то есть на перевёрнутую: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Переворачивают только делитель — дробь после знака деления. Делить на целое число $n$ — значит умножать на $\frac{1}{n}$.

Смешанное число $2\frac{3}{4}$ — это $2 + \frac{3}{4}$. Чтобы записать его неправильной дробью, умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель: $2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$. Умножают и делят смешанные числа только в виде неправильных дробей.

Обратно: разделите числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное — целая часть, остаток — новый числитель: $47 = 9 \cdot 5 + 2$, поэтому $\frac{47}{9} = 5\frac{2}{9}$. Целая часть показывает, между какими целыми числами лежит дробь.

В многоэтажной дроби главная черта длиннее остальных. Под ней стоит сумма дробей, и её считают как одно число в скобках, потому что дробная черта — те же скобки: $\frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{42}} = 1 : \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{42}\right)$. Сначала найдите значение знаменателя, затем разделите на него числитель.