Репет
Задание 6
тема 6 из 10

Признаки делимости, НОД и НОК

Признак делимости проверяет число без деления: на 2, 5 и 10 — по последней цифре, на 3 и 9 — по сумме цифр. Простое число делится только на 1 и на себя, а любое составное число раскладывается на простые множители. По разложению находят НОД и НОК, а НОК знаменателей — это наименьший общий знаменатель дробей.

Реже в задании6На карте навыков

Делимость чисел

Натуральное число aa делится на натуральное число bb, если a=b⋅ka = b \cdot k для натурального kk. Тогда bb — делитель числа aa, а aa — кратное числа bb. Если aa не делится на bb, то a=b⋅q+ra = b \cdot q + r, где qq — неполное частное, а остаток rr больше нуля и меньше bb.

  • Признак делимости проверяет число по последним цифрам или по сумме цифр.
  • Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само число. У составного числа делителей больше двух. Число 1 не простое и не составное.
  • Каждое составное число раскладывается на простые множители.
  • НОД — наибольший общий делитель двух чисел. По нему сокращают дробь.
  • НОК — наименьшее общее кратное двух чисел. НОК знаменателей — наименьший общий знаменатель дробей.

Признаки делимости

ДелительЧисло делится, еслиПример
2последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6, 813581358
3сумма цифр делится на 321452145: 2+1+4+5=122 + 1 + 4 + 5 = 12
5последняя цифра 0 или 547354735
9сумма цифр делится на 973987398: 7+3+9+8=277 + 3 + 9 + 8 = 27
10последняя цифра 045604560

Проверка признаков

5
1
3
6
Сумма цифр 5+1+3+6=155 + 1 + 3 + 6 = 15 делится на 33.
Число 51365136 делится на 33: 5136=3⋅17125136 = 3 \cdot 1712.
Меняйте цифры стрелками и выбирайте делитель. Рамка показывает цифры, по которым работает признак.

Делимость на 3 и на 9

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Признак работает, потому что 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1 и так далее: число отличается от суммы своих цифр на слагаемое, которое делится на 9. Например, 372=3⋅99+7⋅9+(3+7+2)372 = 3 \cdot 99 + 7 \cdot 9 + (3 + 7 + 2).

Число, которое делится на 9, делится и на 3. Обратное неверно: 15 делится на 3, но не делится на 9.

Пример

Делится ли число 5136 на 3? А на 9?

  1. 1.Сумма цифр: 5+1+3+6=155 + 1 + 3 + 6 = 15.
  2. 2.15 делится на 3, поэтому 5136 делится на 3: 5136=3⋅17125136 = 3 \cdot 1712.
  3. 3.15 не делится на 9, поэтому 5136 не делится на 9.

Ответ: на 3 — да, на 9 — нет

Простые числа и разложение на множители

Простые числа до 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Чётное простое число только одно — 2.

Чтобы разложить число на простые множители, делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится. Повторяйте с частным, пока не получится 1. Признаки делимости подсказывают, на что делить.

Пример

Разложите на простые множители число 84.

  1. 1.84 чётное: 84=2⋅4284 = 2 \cdot 42. 42 чётное: 42=2⋅2142 = 2 \cdot 21.
  2. 2.Сумма цифр числа 21 равна 3, поэтому 21 делится на 3: 21=3⋅721 = 3 \cdot 7. Число 7 простое.
  3. 3.84=2⋅2⋅3⋅7=22⋅3⋅784 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7.

Ответ: 22⋅3⋅72^2 \cdot 3 \cdot 7

Наибольший общий делитель

НОД двух чисел — наибольшее число, на которое делятся оба. Разложите оба числа на простые множители. Возьмите только общие множители, каждый столько раз, сколько он входит в то разложение, где его меньше. Перемножьте их.

Если НОД равен 1, числа взаимно простые. По НОД числителя и знаменателя дробь сокращают за один шаг.

Пример

Найдите НОД чисел 84 и 90 и сократите дробь 8490\frac{84}{90}.

  1. 1.84=22⋅3⋅784 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7, 90=2⋅32⋅590 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.
  2. 2.Общие множители: 2 и 3, каждый по одному разу. НОД =2⋅3=6= 2 \cdot 3 = 6.
  3. 3.8490=84:690:6=1415\frac{84}{90} = \frac{84 : 6}{90 : 6} = \frac{14}{15}.

Ответ: НОД = 6, 1415\frac{14}{15}

Наименьшее общее кратное

НОК двух чисел — наименьшее число, которое делится на оба. Разложите числа на простые множители. Возьмите все множители, которые есть хотя бы в одном разложении, каждый столько раз, сколько он входит в то разложение, где его больше. Перемножьте их. Для двух чисел верно: НОД ⋅\cdot НОК =a⋅b= a \cdot b.

НОК знаменателей — наименьший общий знаменатель двух дробей.

Пример

Найдите НОК чисел 30 и 42 и приведите дроби 130\frac{1}{30} и 142\frac{1}{42} к наименьшему общему знаменателю.

  1. 1.30=2⋅3⋅530 = 2 \cdot 3 \cdot 5, 42=2⋅3⋅742 = 2 \cdot 3 \cdot 7.
  2. 2.НОК =2⋅3⋅5⋅7=210= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210.
  3. 3.Дополнительные множители: 210:30=7210 : 30 = 7, 210:42=5210 : 42 = 5. 130=7210\frac{1}{30} = \frac{7}{210}, 142=5210\frac{1}{42} = \frac{5}{210}.

Ответ: НОК = 210

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать