тема 5 из 8

Сравнение чисел на координатной прямой

Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое лежит правее. Поэтому разность $a - b$ положительна, когда $a$ правее $b$ . Знак произведения зависит только от знаков множителей, а знак суммы — от числа, которое дальше от нуля.

Главная тема в задании7На карте навыков

Сравнение по прямой
—В аналитике

Как сравнивать числа по рисунку

Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое лежит правее.

Разность $a - b$ положительна, если $a$ правее $b$ , и отрицательна, если $a$ левее $b$ .
Неравенство с числом перепишите так, чтобы $a$ стояло одно: $a - 7 > 0$ значит $a > 7$ .
Произведение чисел одного знака положительно, разных знаков — отрицательно.
Сумма чисел разных знаков имеет знак того числа, которое дальше от нуля.
Число между двумя дробями ищите по десятичной записи дробей. Дробь на отрезке $[m; n]$ проверяйте, умножив концы на знаменатель.

Знак разности

Неравенство $a > b$ равносильно $a - b > 0$ : из большего числа вычитают меньшее, и получается положительное число. На прямой большее число правее. Поэтому разность «правое минус левое» положительна, а разность «левое минус правое» отрицательна. Порядок букв важен: если $a$ правее $b$ , то $a - b > 0$ , но $b - a < 0$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На координатной прямой отмечены числа $p$ , $q$ и $r$ .

Какая из разностей $q - p$ , $q - r$ , $r - p$ отрицательна?

q - p

q - r

r - p

4) ни одна из них

Правильный ответ

Пояснение

На прямой слева направо стоят $p$ , $q$ , $r$ , поэтому $p < q < r$ .
$q - p$ : $q$ правее $p$ , разность положительна.
$q - r$ : $q$ левее $r$ , разность отрицательна.
$r - p$ : $r$ правее $p$ , разность положительна.
Ответ: 2.

Сравнение с числом

Чтобы проверить неравенство вида $a - 7 > 0$ или $4 - a < 0$ , перенесите слагаемое в другую часть неравенства так, чтобы $a$ стояло с плюсом. $a - 7 > 0$ значит $a > 7$ : точка $a$ правее 7. $4 - a < 0$ значит $4 < a$ : точка $a$ правее 4. Затем найдите на рисунке, между какими целыми числами стоит $a$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На координатной прямой отмечено число $a$ .

Какое из утверждений для этого числа является верным?

4 - a < 0

a - 7 > 0

a - 5 < 0

6 - a > 0

Правильный ответ

Пояснение

Подписаны 0 и 1, одно деление равно 1. Отсчитайте деления от 0: точка $a$ лежит между 6 и 7, то есть $6 < a < 7$ .
$4 - a < 0$ значит $a > 4$ . Это верно.
$a - 7 > 0$ значит $a > 7$ . Неверно: $a < 7$ .
$a - 5 < 0$ значит $a < 5$ . Неверно: $a > 6$ .
$6 - a > 0$ значит $a < 6$ . Неверно.
Ответ: 1.

Знак произведения

Произведение двух чисел одного знака положительно, разных знаков — отрицательно. Расстояние до нуля на знак произведения не влияет. Квадрат любого числа, кроме 0, положителен. Поэтому множитель $b^2$ знак не меняет: у $ab^2$ тот же знак, что у $a$ , а у $a^2b$ — тот же, что у $b$ .

Пример

Число $x$ лежит левее 0, число $y$ — правее 0. Определите знаки выражений $xy$ , $xy^2$ и $x^2y$ .

1. $x < 0$ , $y > 0$ : знаки разные, $xy < 0$ .
2. $y^2 > 0$ , поэтому $xy^2$ того же знака, что $x$ : $xy^2 < 0$ .
3. $x^2 > 0$ , поэтому $x^2y$ того же знака, что $y$ : $x^2y > 0$ .

Ответ: $xy < 0$ , $xy^2 < 0$ , $x^2y > 0$

Знаки выражений

a = -3,\quad b = 1{,}5

a - b = -4{,}5 < 0

a + b = -1{,}5 < 0

ab = -4{,}5 < 0

ab^2 = -6{,}75 < 0

a^2b = 13{,}5 > 0

Двигайте числа

a

b

и следите за знаками. Разность меняет знак, когда

a

проходит через

b

. Произведение меняет знак, когда одно из чисел проходит через 0.

Знак суммы

Сумма двух положительных чисел положительна, двух отрицательных — отрицательна. Если знаки разные, сумма имеет знак того числа, у которого больше модуль. Модуль — это расстояние до нуля. Поэтому на рисунке знак суммы даёт точка, которая дальше от 0: $-5 + 2 = -3$ , $5 + (-2) = 3$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На координатной прямой отмечены числа и .

Какое из приведённых утверждений для этих чисел верно?

x + y > 0

x y^{2} < 0

x - y < 0

x^{2} y > 0

Правильный ответ

Пояснение

$y$ левее 0, $x$ правее 0: $y < 0 < x$ . Точка $x$ дальше от 0, чем $y$ .
$x + y$ : знаки разные, $x$ дальше от 0, поэтому сумма положительна. $x + y > 0$ — верно.
$xy^2$ того же знака, что $x$ : $xy^2 > 0$ . Утверждение $xy^2 < 0$ неверно.
$x$ правее $y$ , поэтому $x - y > 0$ . Утверждение $x - y < 0$ неверно.
$x^2y$ того же знака, что $y$ : $x^2y < 0$ . Утверждение $x^2y > 0$ неверно.
Ответ: 1.

Число между двумя дробями

Чтобы найти десятичное число между двумя дробями, переведите каждую дробь в десятичную: делите до сотых или тысячных. Затем сравните каждый вариант ответа с обоими концами. Число лежит между дробями, если оно больше меньшей дроби и меньше большей.

Пример

Какое из чисел $0{,}6$ ; $0{,}7$ ; $0{,}8$ ; $0{,}9$ заключено между числами $\frac{8}{13}$ и $\frac{12}{17}$ ?

1. $8 : 13 = 0{,}615\ldots$ , $12 : 17 = 0{,}705\ldots$
2. $0{,}6 < 0{,}615\ldots$ , поэтому $0{,}6$ левее обеих дробей.
3. $0{,}615\ldots < 0{,}7 < 0{,}705\ldots$ : число $0{,}7$ между дробями.
4. $0{,}8$ и $0{,}9$ больше $0{,}705\ldots$ , они правее.

Ответ: $0{,}7$

Дробь на отрезке

Отрезок $[m; n]$ — это все числа $x$ , для которых $m \le x \le n$ . Дробь $\frac{p}{q}$ с положительным знаменателем лежит на отрезке $[m; n]$ , если $mq \le p \le nq$ . Умножьте концы отрезка на знаменатель и сравните произведения с числителем, делить ничего не нужно. Концы могут быть и десятичными дробями.

Пример

Какое из чисел $\frac{58}{17}$ , $\frac{72}{17}$ , $\frac{87}{17}$ , $\frac{91}{17}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$ ?

1. $4 \cdot 17 = 68$ , $5 \cdot 17 = 85$ . Нужен числитель от 68 до 85.
2. $58 < 68$ , а $87$ и $91$ больше 85. Подходит только 72.

Ответ: $\frac{72}{17}$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать