тема 6 из 8

Корень на координатной прямой

Корень из числа, которое не является полным квадратом, лежит между двумя соседними целыми числами. Их находят по соседним полным квадратам: $49 < 58 < 64$ , поэтому $7 < \sqrt{58} < 8$ . Чтобы понять, к какому из них корень ближе, число под корнем сравнивают с квадратом середины: $7{,}5^2 = 56{,}25$ .

Часто в задании7Реже в задании8На карте навыков

Как найти корень на прямой

Чем больше число под корнем, тем больше корень. Поэтому $\sqrt{n}$ лежит между корнями соседних полных квадратов.

Найдите соседние полные квадраты: $k^2 < n < (k + 1)^2$ .
Тогда $k < \sqrt{n} < k + 1$ .
Сравните $n$ с квадратом середины $(k + 0{,}5)^2$ : если $n$ меньше, корень ближе к $k$ , если больше — к $k + 1$ .
Выберите точку между $k$ и $k + 1$ с той же стороны от середины.

Целые границы корня

Если $k^2 < n < (k + 1)^2$ , то $k < \sqrt{n} < k + 1$ : из большего числа корень больше. Соседние полные квадраты берут из таблицы квадратов. Если $n$ — полный квадрат, корень целый: $\sqrt{64} = 8$ .

Пара чисел $a$ и $b$ — верный ответ, только если $a^2 < n < b^2$ . Возведите в квадрат границы каждого варианта. Пара «57 и 59» для $\sqrt{58}$ — соседи самого числа 58, а не его корня.

Пример

Между какими числами заключено число $\sqrt{58}$ ? 1) 19 и 21; 2) 57 и 59; 3) 3 и 4; 4) 7 и 8.

1. $19^2 = 361 > 58$ и $57^2 = 3249 > 58$ : варианты 1 и 2 не подходят.
2. $4^2 = 16 < 58$ , поэтому $\sqrt{58} > 4$ : вариант 3 не подходит.
3. $7^2 = 49 < 58 < 64 = 8^2$ , поэтому $7 < \sqrt{58} < 8$ .

Ответ: 4

Корень между полными квадратами

7 < \sqrt{58} < 8

n

58

7^2 = 49 < 58 < 64 = 8^2

58 > 7{,}5^2 = 56{,}25

\sqrt{58}

правее середины

7{,}5

, поэтому ближе к

8

Двигайте ползунок

n

. Если

n

— не полный квадрат, точка

\sqrt{n}

лежит между двумя целыми числами, и ближнее из них выделено. Внизу этот отрезок увеличен, пунктир — его середина.

К какой границе корень ближе

Середина отрезка от $k$ до $k + 1$ — число $k + 0{,}5$ , его квадрат $k^2 + k + 0{,}25$ . Если $n < (k + 0{,}5)^2$ , то $\sqrt{n} < k + 0{,}5$ и корень ближе к $k$ . Если $n > (k + 0{,}5)^2$ , корень ближе к $k + 1$ .

Для целого $n$ достаточно посмотреть, к какому из соседних квадратов ближе $n$ : к корню того квадрата ближе и $\sqrt{n}$ . Число 58 ближе к 64, чем к 49, поэтому $\sqrt{58}$ ближе к 8.

Пример

На прямой отмечены точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Одна из них соответствует числу $\sqrt{95}$ . Какая это точка?

A

B

лежат между 9 и 10,

C

D

— между 10 и 11.

1. $9^2 = 81 < 95 < 100 = 10^2$ , поэтому $9 < \sqrt{95} < 10$ : подходят $A$ и $B$ .
2. $9{,}5^2 = 90{,}25 < 95$ , поэтому $\sqrt{95} > 9{,}5$ : корень ближе к 10.
3.Ближе к 10 из двух точек лежит $B$ .

Ответ: $B$

Какое из чисел отмечено точкой

Когда дана точка и несколько корней, найдите целые границы каждого корня и оставьте те, что лежат в отрезке с точкой. Если там остались два корня, решает середина отрезка: сравните числа под корнями с её квадратом.

Пример

Одно из чисел $\sqrt{29}$ , $\sqrt{33}$ , $\sqrt{39}$ , $\sqrt{44}$ отмечено на прямой точкой $A$ . Какое это число?

Точка

A

лежит между 6 и 7, ближе к 7.

1. $29 < 36$ и $33 < 36$ , поэтому $\sqrt{29}$ и $\sqrt{33}$ меньше 6.
2. $36 < 39 < 44 < 49$ : $\sqrt{39}$ и $\sqrt{44}$ лежат между 6 и 7.
3. $6{,}5^2 = 42{,}25$ и $39 < 42{,}25 < 44$ : ближе к 7 только $\sqrt{44}$ .

Ответ: $\sqrt{44}$

Какой корень лежит на отрезке

Число $\sqrt{n}$ принадлежит отрезку $[k; k + 1]$ , если $k^2 \le n \le (k + 1)^2$ . Возведите концы отрезка в квадрат и выберите корень, у которого число под корнем лежит между этими квадратами. Не путайте $\sqrt{7}$ с числом 7: $\sqrt{7} < 3$ , потому что $7 < 9$ .

Пример

Какое из чисел $\sqrt{10}$ , $\sqrt{17}$ , $\sqrt{30}$ , $\sqrt{37}$ принадлежит отрезку $[5; 6]$ ?

1. $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$ : число под корнем должно быть от 25 до 36.
2. $10 < 25$ , $17 < 25$ , $37 > 36$ , а $25 \le 30 \le 36$ .

Ответ: $\sqrt{30}$

Сравнение корней и чисел

Из двух корней больше тот, у которого больше число под корнем: $\sqrt{29} < \sqrt{33}$ , потому что $29 < 33$ . Чтобы сравнить корень с числом, запишите число как корень из его квадрата: $7 = \sqrt{49}$ , поэтому $\sqrt{47} < 7$ . Так по порядку располагают несколько корней и чисел. Число вида $3\sqrt{2}$ сначала вносят под корень: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ .

Пример

Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{35}$ , $6$ , $\sqrt{30}$ , $5{,}5$ .

1.Запишите числа как корни: $6 = \sqrt{36}$ , $5{,}5 = \sqrt{30{,}25}$ .
2.Сравните числа под корнями: $30 < 30{,}25 < 35 < 36$ .

Ответ: $\sqrt{30} < 5{,}5 < \sqrt{35} < 6$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать